1、第7课时函数模型及其应用考纲索引1. 常见的几种函数模拟.2. 函数模型的比较.课标要求1. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2. 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1. 几类函数模型函数模型函数关系式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a1)幂函数
2、模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a0)2. 三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0).在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长xn的增长,因而总存在一个x0,当xx0时有.(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0).对数函数y=logax(a1)的增长速度,无论a与n值的大小如何总会y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+)上,总会存在一
3、个x0,使xx0时有.基础自测1. (教材改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是().A. f(x)g(x)h(x)B. g(x)f(x)h(x)C. g(x)h(x)f(x)D. f(x)h(x)g(x)2. 某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是().3. 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四
4、个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是().A. y=2x-2 B. y=(x2-1) C. y=log3x D. y=2x-24. (教材改编)某种含蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是.5. 某物体一天中的温度T(单位:)是时间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12:00,其后t取正值,则下午3时的温度为.指 点 迷 津1. 建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,注意
5、不要忘记考察函数的定义域.2. 函数模型应用不当,是常见的解题错误,所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型.3. 注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.考点透析考向一利用函数图象刻画实际问题例1如图所示,向高为H的容器A,B,C,D中同时以等速注水,注满为止:(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a),则容器的形状是;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b),则容器的形状是;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c),则容器的形状是;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d),则容器的形状是.【审题视点】想象等容量的水在各
6、个容器中,由下向上所体现的高度.【方法总结】将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.变式训练1. 如图所示,阴影部分的面条S是h的函数(0hH),则该函数的图象是(). (第1题)考向二利用已知函数模型解决实际问题例2(2013山东模拟)随着全球债务危机的深化,中国某陶瓷厂为了适应发展,制定了以下生产计划,每天生产陶瓷的固定成本为14000元,每生产一件产品,成本增加210元.已知该产品的日销售量f(x)(单位:件)与产量x(单位:件)之间的关系式为f(x)= 每件产品的售价g(x)(单位:元)与产量
7、x之间的关系式为g(x)= (1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q(x)(单位:元)与产量x之间的关系式;(2)若要使得日销售利润最大,则该陶瓷厂每天应生产多少件产品,并求出最大利润.【审题视点】利用f(x)与g(x)及成本函数l(x)之间的关系构造Q(x),并按分段函数求最值.【方法总结】若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先期待定系数法求出函数关系式中相关参数的值,再用求得的函数关系式解决实际问题.变式训练2. (2013安徽模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策,提高了西部的经济和社会发展水平.西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府对
8、该项特产的销售投资收益为:每年投入x万元,可获得利润万元.当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项且每年都投入60万元的销售投资,在未来十年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入x万元,可获利润Q= 万元.问从10年的总利润看,该规划方案是否具有实施价值?考向三自建函数模型解决实际问题例3(2013山东模拟)如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45的方向匀速航行,速度为海里/小时.在甲船从A岛出发的同时,
9、乙船从A岛正南40海里处的B岛出发,朝北偏东(tan= )的方向匀速航行,速度为m海里/小时.(1)若两船能相遇,求m的值;(2)当m= 时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离为多少海里?【审题视点】(1)利用解三角形的方法求速度m.(2)把PQ转化为t的函数关系求最值.【方法总结】(1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质;(2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题;(4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.变式训练3. (2013天津十校联考)某市居民
10、自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨).(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.经典考题典例(2014苏北四市统考)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米,圆心角为x(弧度).(1)求关于x的函数关系式;(2)已知在花坛的边缘
11、(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值?【解题指南】函数型应用题.【解】根据要求建立函数关系式,确定变量取值的范围,再求其最值.(1)设扇环的圆心角为,则30=(10+x)+2(10-x),所以= .(2)花坛的面积为(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50,(0xxn(2) 慢于logaxxnlogax(a1, n0)基础自测1. B2. A3. B4. y=a(1+r)x, xN*5. 78考点透析【例1】(1) C(2) A(3) D(
12、4) B解析:(1) 若h(t)的图象是(a), h(t)是t的正比例函数,h随等比例增,其容器为C.(2) 若v(h)的图象是(b)即指数型,V随h的变化越来越大,所以容器是A.(3) 若h(t)的图象是(c),h随t的变化是先快后缓再快,呈对称变化为容器D.(4) 若t(h)的图象是(d),当同样深度的水所用时间的变化由大到小,即相对于前一次注水的容量越来越少,时间的变化越来越小,容器为B.【例2】(1) 设总成本为c(x)(单位:元),则c(x)=14000+210x,所以日销售利润Q(x)=f(x)g(x)-c(x)= (2) 由(1)知,当0x400时, 令Q(x)=0,解得x=10
13、0或x=700(舍去).易知当x0, 100时,Q(x)0.所以Q(x)在区间0, 100)上单调递减,在区间(100, 400上单调递增.因为Q(0)=-14000, Q(400)=30000,所以Q(x)在x=400时取到最大值,且最大值为30000.当400x0,所得函数应为开口向上的二次函数图象的一部分,故选B.(第1题)2. 在实地规划前,由题设(万元)知,每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元.则10年的总利润为W1=10010=1000(万元).实施规划后的前5年中,修建公路的费用为305=150(万元),又由题设知,每年投入30万元时,利润(万元).前5年的利润和为(万元).设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售,则其总利润为3. (1) 当甲的用水量不超过4吨时,即5x4时,乙的用水量不超过4吨,y=(5x+3x)1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时,即3x4且5x4.y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x4时,y=24x-9.6,所以(2) 由于y=f(x)在各段区间上的均单调递增,经典考题真题体验
