1、2021北京通州高一（上）期末数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】已知集合，则.故选：C.2. 下列各角中与终边相同的角是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】，因此，只有A选项中的角与终边相同.故选：A.3. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为第三象限角，由三角函数
2、在象限的正负，判断选项.【详解】是第三象限角，故AB不正确；，故C不正确；，故D正确.故选：D4. 已知函数：，则其中最小正周期为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可由图象分析最小正周期【详解】最小正周期为的图象，在轴右侧部分与一样，又因为其为偶函数，图象关于轴对称，由图象可知它不是周期函数.的图象，可由的图象，保持轴上半部分不变，轴下半部分图象向上翻折得到. 由图象可知，其最小正周期为故选：B.5. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ）A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. ( 3，4)【答案】C【解析】【分析】可判断函数单调性，将区间端点代入
3、解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.【详解】为上增函数由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.故选：C6. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断【详解】“”是“”的因为，故可得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4
4、）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含7. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，利用复合函数的单调性可判断出函数在上的单调性.【详解】对于函数，有，解得，函数的定义域为，因为，所以，函数为偶函数，因为，内层函数在上为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为减函数.故选：D.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果
5、函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由，利用三角函数图象变换规律可得出结论.【详解】，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度，故选：B.9. 函数（且）在R上单调递减，则实数的取
6、值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数（且）在R上单调递减，所以，解得，即实数取值范围是.故选：D.10. 如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“- 函数”. 若函数是“- 函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.【详解】， ，函数是“- 函数”，对任意的，均有，即，即，又，或.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，
7、并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11. _.【答案】.【解析】【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.故答案为：.12. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为_；面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，该扇形的面积为.故答案为：；.13. 若，是第二象限的角，则=_.【答案】【解析】【分析】先由同角三角函数基本关系，求出，再由二
8、倍角的正切公式，即可求出结果.【详解】因为，是第二象限的角，所以，则，因此.故答案为：14. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_；的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.【详解】由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.故答案为：；15. 已知是定义域为R的奇函数，对任意的实数恒成立，且当时，.则当时，_； _【答案】 (1
9、). (2). 【解析】【分析】当时，根据已知区间的解析式，由函数的奇偶性及，即可求出时的解析式；再由题中条件，求出函数周期，进而可得出.【详解】当时，由题意，；又是定义域为R的奇函数，所以，则，因此；由可得，所以，所以以为周期，则.故答案为：；.16. 已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.给出下列四个结论：；.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】首先根据正边形的某个边，作出内切圆和外接圆的半径的图形，分析与角的关系，判断选项.【详解】如图，是正边形的外接圆的半径，是内切圆的半径，设，在中， ，综上可知正确的选项是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键
10、是作图，根据正边形的某个边，作出示意图，同时相邻的与的夹角是，下面的问题就迎刃而解.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 已知函数.（1）写出函数的振幅、周期、初相；（2）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）.【答案】（1）振幅为2，周期,初相为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由的解析式直接可得答案；（2）令，则，令求出相应的x及对应的y值得到五个点的坐标，在坐标系下画出即可.【详解】（1）由得振幅为2，周期,初相为；（2）用“五点法”作出在一个周期内的图象，令，则，列表，xy0200图象如下【点睛】本题考查五点作图法画三角函数
11、的图象，关键点是令求出相应的x及对应的y值找到五个点的坐标，考查了学生的对基础知识的掌握情况及作图的能力.18. 已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，.（）求及的值；（）求.【答案】（）；（）.【解析】【分析】根据任意角角概念，由角的终边上的点的坐标，得到角、的正弦和余弦值；（）根据同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果；（）根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为锐角、的终边与单位圆的交点分别为，所以，；因此（）；（）.19. （1）若，求的值；（2）已知锐角满足，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）原式可变形，上下同时除以，代入后，计算结果；（2）利
12、用角的变换，先求，展开后代入三角函数值，化简求值，最后求的值.【详解】（1）原式上下同时除以，变形为；（2）， ， ，【点睛】思路点睛：本题第一问是关于的齐次分式，上下都是一次形式，则上下同时除以，若上下都是二次形式，则上下同时除以，第二问是角的变换，将条件中的角看成一个整体，表示结论中的角，再求三角函数值.20. 已知函数.（）求的最小正周期；（）求的单调区间；（）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（）最小正周期为；（）单调递增区间为；单调递减区间为；（）.【解析】【分析】（）先将函数化简整理，得到，由正弦函数的周期性，即可求出其最小正周期；（）根据正弦函数的单调区间，列出对应不
13、等式求解，即可求出结果；（）根据（）中所得单调递增区间，可直接得出结果.【详解】（），因此f(x)的最小正周期为；（）由可得，即单调递增区间为；由可得，即的单调递减区间为；（）因为函数在上单调递增，由（）可得，的单调递增区间为；则是的子区间，所以只需，即实数的取值范围为.21. 已知函数，再从，；，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题.（1）求；（2）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（3）求函数在上的最大值和最小值.【答案】选：（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（3），.选：（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程
14、为（答案不唯一）；（3），.【解析】【分析】选：化简函数的解析式为.（1）直接计算的值；（2）根据正弦型函数的基本性质可求得结果；（3）由可计算得出取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值和最小值；选：化简函数的解析式为.（1）直接计算的值；（2）利用正弦函数的基本性质可求得结果；（3）由可得出，再利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值.【详解】选，则.（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（3）当时，则，.选，.（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（3），则，.当时，取最大值，即；当时
15、，取最小值，即.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22. 已知函数（1）证明：为偶函数；（2）用定义证明：是上的增函数；（3）求满足不等式的的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，计算得出，由此可证得结论成立；（2）化简函数在上的解析式，任取、且，计算得出，从而可证明出函数是上的增函数；（3）由已知得出，结合函数的定义域可得出，解此不等式组即可得解.【详解】（1）对于函数，解得，所以，函数的定义域为，所以，函数为偶函数；（2）当时，任取、且，即，所以，即，所以，函数是上的增函数；（3）由（2）可知，函数在上为增函数，又因为函数为偶函数，所以，函数在上为减函数，由可得，所以，即，即，可得且，解得或，因此，满足不等式的的范围是或.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
