1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3函数的单调性1函数单调性的相关定义(1)定义：(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量间的对应规律，刻画了函数在区间上的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的内容(3)应用：比较大小；求参数取值范围；解不等式；确定零点的个数函数的单调性定义中，x1，x2的值有什么特点？提示：(1)“区间A”可以是函数的定义域，也可以是函数定义域的子集(2)增函数、减函数定义中自变量x1，x2有三个特征：x1，x2属于同一单调区间A；任意性，即不能用特殊值代替；有大小，通常设x1x2
2、，再比较f(x1)与f(x2)的大小2函数的最值(1)定义：函数是增加的或是减少的条件在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时都有f(x1)f(x2)结论就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的单调区间区间A称为y=f(x)的单调区间单调性如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性增(减)函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数
3、为增函数或减函数,统称为单调函数(2)本质：函数的最值反映的是函数整体的性质，不能只研究定义域的子区间(3)求解：图像法；单调性法函数的最值和值域有何联系与区别？提示：(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域(2)区别：函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；若函数的最值存在，则一定是值域中的元素1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)正比例函数ykx(k0)是单调函数()提示：正比例函数ykx(k0)，当k0时是增函数；当k0时是减函数所以正比例函数是单调函数(2)二次函数yx2在(，)上是单调函数()提示：二次函数yx2在(，)上是先减少后增加
4、的函数，所以二次函数yx2在(，)上不具有单调性(3)反比例函数yx1在整个定义域(，0)(0，)上是减函数()提示：反比例函数f(x)在整个定义域(，0)(0，)上不具有单调性可是在区间(，0)上是减少的，在区间(0，)上也是减少的这是由于反比例函数f(x)的定义域在0处不连续，若取x11x21，则f(x1)0，所以f(x)的最小值为0.( )提示： 对于函数f(x)x210，可知0不是函数值，即不存在x，使f(x)0，所以函数的最小值为1，不是0.2函数y的单调递减区间是()A0，) B(，0C(，0)，(0，) D(，0)(0，)【解析】选C.由图象知单调递减区间为(，0)，(0，).3
5、(教材例题改编)已知函数yx2bxc，则函数的最_值为_【解析】因为函数yx2bxc的图像是开口向下的抛物线，且yx2bxcc，所以函数的最大值为c.答案：大c类型一利用函数图像求函数的单调区间(直观想象)1如图所示，已知函数yf(x)的图像，则函数的递减区间为_【解析】根据单调减区间的概念与其图像形状可知：函数的递减区间为，0，).答案：，0，)2分别画出下列函数的图像，写出函数的增区间与减区间(1)yx22x3.(2)y|x22x3|.【解析】(1)yx22x3(x1)24.作出函数的图像，抛物线开口向上，其对称轴为直线x1，所以函数的递增区间是1，)，递减区间是(，1).(2)由(1)得
6、f(x)x22x3(x1)24的图像保留其在x轴及x轴上方的部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到y|x22x3|的图像，如图所示由图像可得函数的递增区间是3，1，1，)，递减区间是(，3)，(1，1).求函数单调区间的方法(1)图像法根据图像的“上升趋势”或“下降趋势”，从而得到函数的单调性.(2)性质法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接利用掌握以下结论，对于判断函数的单调性有一定好处当f(x)0时，函数y与yf(x)的单调性相反，对于f(x)0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单
7、调性【补偿训练】1.已知函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为()A(3，1)(1，4)B(5，3)(1，1)C(3，1)，(1，4)D(5，3)，(1，1)【解析】选C.在某个区间上，若函数yf(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1，4).2作出函数f(x)的图像，并指出函数的单调区间【解析】f(x)的大致图像如图所示：由图像可知：函数在(，1，(1，2上是减少的，在(2，)上是增加的类型二利用单调性定义判断或证明函数的单调性(逻辑推理)【典例】已知c为常数，证明：函数f(x)x3c在(，)上为增函数用定义证明函数单
8、调性的方法步骤(1)取值：设任意x1，x2属于给定区间，且x1x2.(2)作差变形：f(x1)f(x2)变形的常用方法有：因式分解、配方、分子有理化等，目的是进行和差化为积商，利于与0比较大小(3)定号：确定f(x1)f(x2)的正负号(4)下结论：由定义得出函数的单调性证明：函数f(x)x在(0，)上单调递增【证明】任取x1，x2(0，)且x1x2，则x1x20，那么f(x1)f(x2)(x1x2)，因为x1，x2(0，)，所以x1x20，所以10，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)x在(0，)上单调递增【拓展延伸】抽象函数单调性的判断抽象函数单调
9、性问题一般用单调性的定义来处理，但要灵活应用题设条件判断函数值之间的关系常用思路：先在所证区间上设出任意的x1，x2(x1x2)，然后利用已知条件进行变形，转化到已知区间，最后运用函数单调性的定义来解决问题【拓展训练】已知定义在(0，)上的函数f(x)对任意x，y(0，)，恒有f(xy)f(x)f(y)，且当0x0，判断f(x)在(0，)上的单调性【解析】设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)ff(x2)ff(x2)f(x2)f，因为x1，x2(0，)且x1x2，所以00，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，)上递
10、减类型三利用函数单调性求最值(直观想象)【典例】已知函数f(x)(1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域【思路导引】利用函数的图像与性质，得到函数的单调性，即可求出函数的最值【解析】(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1，0)，(2，5，单调递减区间为(0，2)，值域为1，3.利用函数单调性求函数最值的思路(1)判断f(x)g(x)的单调性；(2)结合函数f(x)g(x)的单调性判断函数的最值求函数f(x)3x2在上的最值【解析】因为函数y3x与y2在上都是递增的，所以函数f(x)3x2在上是递增的故f(x)maxf(4)
11、122，f(x)minf(1)32.类型四函数的单调性、最值与参数问题(数学运算、逻辑推理)角度1 函数的单调性与参数问题【典例】若f(x)是定义在(，)上的减函数，则a的取值范围是()ABC D【思路导引】由题意可得3a10，a0且a3a14a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的取值范围【解析】选A.由题意可得求得a1时，f(x)的最小值为t22t5；当2t1时，f(x)的最小值为4；当t2时，f(x)的最小值为t24t8.所以(t)1根据函数的单调性求参数的方法(1)熟练掌握常见函数的图像；(2)结合常见函数的图像对参数进行讨论以及验证分析，探求参数的取值范围在求解过程中常常用到核心
12、素养中的直观想象2利用函数的图像求函数的最值(1)图所示函数是递增的，故在区间上存在最小值f(a)，最大值f(b).(2)图所示函数是递减的，故在区间上存在最大值f(a)，最小值f(b).(3)图所示的函数在(，a上是递增的，在a，)上是递减的，故在xa处取最大值，即f(x)maxf(a).(4)图所示的函数在(，a上是递减的，在a，)上是递增的，故在xa处取最小值，即f(x)minf(a).3函数的最值与参数(1)已知函数最值求参数已知最值求参数主要思路：直接求该函数的最值(含参数)，令其等于已知最值即可求出参数的值(2)含参函数的最值问题含参函数的最值，一般需要根据参数的取值进行分类讨论，
13、在讨论时要做到参数取值不重不漏1已知函数f(x)若对R上的任意实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)0成立，那么a的取值范围是()A(0，3BC(0，2D【解析】选C.任取x1x2，则x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以函数yf(x)在R上为减函数，故有解得00时，函数f(x)为增函数；k0时，函数f(x)为减函数故与k的取值有关2已知函数f(x)4x2kx8在5，)上是递增的，则实数k的取值范围是()A(，40) B(，40C(40，) D40，)【解析】选B.函数f(x)4x2kx8的对称轴为x，因为函数f(x)在5，)上是递增的，所以5，即k40.3(教材习题改编)已知函数f(x)x2kx6在上具有单调性，则k的取值范围是()A(4，16) BC16，) D(，416，)【解析】选D.根据题意，函数f(x)x2kx6的对称轴为x，若f(x)在上具有单调性，则有2或8，解得k4或k16.4已知函数yf(x)在R上是增函数，并且f(1)0，则f(x)0的解集是_.【解析】因为f(1)0，所以f(x)0f(1).又因为f(x)在R上是增函数，所以x1.答案：x|x15函数f(x)x在x上的最大值为_，最小值为_【解析】函数yx和y在上都是增加的，所以函数f(x)x在上是增加的，所以f(x)maxf(4)4，f(x)minf(2)2.答案：关闭Word文档返回原板块
