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2021-2022学年数学北师大版必修一学案:第二章 3 函数的单调性 WORD版含答案.doc

1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3函数的单调性1函数单调性的相关定义(1)定义:(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量间的对应规律,刻画了函数在区间上的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的内容(3)应用:比较大小;求参数取值范围;解不等式;确定零点的个数函数的单调性定义中,x1,x2的值有什么特点?提示:(1)“区间A”可以是函数的定义域,也可以是函数定义域的子集(2)增函数、减函数定义中自变量x1,x2有三个特征:x1,x2属于同一单调区间A;任意性,即不能用特殊值代替;有大小,通常设x1x2

2、,再比较f(x1)与f(x2)的大小2函数的最值(1)定义:函数是增加的或是减少的条件在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时都有f(x1)f(x2)结论就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的单调区间区间A称为y=f(x)的单调区间单调性如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性增(减)函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数

3、为增函数或减函数,统称为单调函数(2)本质:函数的最值反映的是函数整体的性质,不能只研究定义域的子区间(3)求解:图像法;单调性法函数的最值和值域有何联系与区别?提示:(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域(2)区别:函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;若函数的最值存在,则一定是值域中的元素1辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)正比例函数ykx(k0)是单调函数()提示:正比例函数ykx(k0),当k0时是增函数;当k0时是减函数所以正比例函数是单调函数(2)二次函数yx2在(,)上是单调函数()提示:二次函数yx2在(,)上是先减少后增加

4、的函数,所以二次函数yx2在(,)上不具有单调性(3)反比例函数yx1在整个定义域(,0)(0,)上是减函数()提示:反比例函数f(x)在整个定义域(,0)(0,)上不具有单调性可是在区间(,0)上是减少的,在区间(0,)上也是减少的这是由于反比例函数f(x)的定义域在0处不连续,若取x11x21,则f(x1)0,所以f(x)的最小值为0.( )提示: 对于函数f(x)x210,可知0不是函数值,即不存在x,使f(x)0,所以函数的最小值为1,不是0.2函数y的单调递减区间是()A0,) B(,0C(,0),(0,) D(,0)(0,)【解析】选C.由图象知单调递减区间为(,0),(0,).3

5、(教材例题改编)已知函数yx2bxc,则函数的最_值为_【解析】因为函数yx2bxc的图像是开口向下的抛物线,且yx2bxcc,所以函数的最大值为c.答案:大c类型一利用函数图像求函数的单调区间(直观想象)1如图所示,已知函数yf(x)的图像,则函数的递减区间为_【解析】根据单调减区间的概念与其图像形状可知:函数的递减区间为,0,).答案:,0,)2分别画出下列函数的图像,写出函数的增区间与减区间(1)yx22x3.(2)y|x22x3|.【解析】(1)yx22x3(x1)24.作出函数的图像,抛物线开口向上,其对称轴为直线x1,所以函数的递增区间是1,),递减区间是(,1).(2)由(1)得

6、f(x)x22x3(x1)24的图像保留其在x轴及x轴上方的部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到y|x22x3|的图像,如图所示由图像可得函数的递增区间是3,1,1,),递减区间是(,3),(1,1).求函数单调区间的方法(1)图像法根据图像的“上升趋势”或“下降趋势”,从而得到函数的单调性.(2)性质法运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接利用掌握以下结论,对于判断函数的单调性有一定好处当f(x)0时,函数y与yf(x)的单调性相反,对于f(x)0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;当c0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单

7、调性【补偿训练】1.已知函数yf(x)的图像如图所示,则该函数的减区间为()A(3,1)(1,4)B(5,3)(1,1)C(3,1),(1,4)D(5,3),(1,1)【解析】选C.在某个区间上,若函数yf(x)的图像是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(3,1),(1,4).2作出函数f(x)的图像,并指出函数的单调区间【解析】f(x)的大致图像如图所示:由图像可知:函数在(,1,(1,2上是减少的,在(2,)上是增加的类型二利用单调性定义判断或证明函数的单调性(逻辑推理)【典例】已知c为常数,证明:函数f(x)x3c在(,)上为增函数用定义证明函数单

8、调性的方法步骤(1)取值:设任意x1,x2属于给定区间,且x1x2.(2)作差变形:f(x1)f(x2)变形的常用方法有:因式分解、配方、分子有理化等,目的是进行和差化为积商,利于与0比较大小(3)定号:确定f(x1)f(x2)的正负号(4)下结论:由定义得出函数的单调性证明:函数f(x)x在(0,)上单调递增【证明】任取x1,x2(0,)且x1x2,则x1x20,那么f(x1)f(x2)(x1x2),因为x1,x2(0,),所以x1x20,所以10,又x1x20,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)x在(0,)上单调递增【拓展延伸】抽象函数单调性的判断抽象函数单调

9、性问题一般用单调性的定义来处理,但要灵活应用题设条件判断函数值之间的关系常用思路:先在所证区间上设出任意的x1,x2(x1x2),然后利用已知条件进行变形,转化到已知区间,最后运用函数单调性的定义来解决问题【拓展训练】已知定义在(0,)上的函数f(x)对任意x,y(0,),恒有f(xy)f(x)f(y),且当0x0,判断f(x)在(0,)上的单调性【解析】设x1,x2是区间(0,)上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)f(x2)ff(x2)ff(x2)f(x2)f,因为x1,x2(0,)且x1x2,所以00,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,)上递

10、减类型三利用函数单调性求最值(直观想象)【典例】已知函数f(x)(1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域【思路导引】利用函数的图像与性质,得到函数的单调性,即可求出函数的最值【解析】(1)图象如图所示:(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1,0),(2,5,单调递减区间为(0,2),值域为1,3.利用函数单调性求函数最值的思路(1)判断f(x)g(x)的单调性;(2)结合函数f(x)g(x)的单调性判断函数的最值求函数f(x)3x2在上的最值【解析】因为函数y3x与y2在上都是递增的,所以函数f(x)3x2在上是递增的故f(x)maxf(4)

11、122,f(x)minf(1)32.类型四函数的单调性、最值与参数问题(数学运算、逻辑推理)角度1 函数的单调性与参数问题【典例】若f(x)是定义在(,)上的减函数,则a的取值范围是()ABC D【思路导引】由题意可得3a10,a0且a3a14a,解由这几个不等式组成的不等式组,求得a的取值范围【解析】选A.由题意可得求得a1时,f(x)的最小值为t22t5;当2t1时,f(x)的最小值为4;当t2时,f(x)的最小值为t24t8.所以(t)1根据函数的单调性求参数的方法(1)熟练掌握常见函数的图像;(2)结合常见函数的图像对参数进行讨论以及验证分析,探求参数的取值范围在求解过程中常常用到核心

12、素养中的直观想象2利用函数的图像求函数的最值(1)图所示函数是递增的,故在区间上存在最小值f(a),最大值f(b).(2)图所示函数是递减的,故在区间上存在最大值f(a),最小值f(b).(3)图所示的函数在(,a上是递增的,在a,)上是递减的,故在xa处取最大值,即f(x)maxf(a).(4)图所示的函数在(,a上是递减的,在a,)上是递增的,故在xa处取最小值,即f(x)minf(a).3函数的最值与参数(1)已知函数最值求参数已知最值求参数主要思路:直接求该函数的最值(含参数),令其等于已知最值即可求出参数的值(2)含参函数的最值问题含参函数的最值,一般需要根据参数的取值进行分类讨论,

13、在讨论时要做到参数取值不重不漏1已知函数f(x)若对R上的任意实数x1,x2(x1x2),恒有(x1x2)0成立,那么a的取值范围是()A(0,3BC(0,2D【解析】选C.任取x1x2,则x1x20,所以f(x1)f(x2),所以函数yf(x)在R上为减函数,故有解得00时,函数f(x)为增函数;k0时,函数f(x)为减函数故与k的取值有关2已知函数f(x)4x2kx8在5,)上是递增的,则实数k的取值范围是()A(,40) B(,40C(40,) D40,)【解析】选B.函数f(x)4x2kx8的对称轴为x,因为函数f(x)在5,)上是递增的,所以5,即k40.3(教材习题改编)已知函数f(x)x2kx6在上具有单调性,则k的取值范围是()A(4,16) BC16,) D(,416,)【解析】选D.根据题意,函数f(x)x2kx6的对称轴为x,若f(x)在上具有单调性,则有2或8,解得k4或k16.4已知函数yf(x)在R上是增函数,并且f(1)0,则f(x)0的解集是_.【解析】因为f(1)0,所以f(x)0f(1).又因为f(x)在R上是增函数,所以x1.答案:x|x15函数f(x)x在x上的最大值为_,最小值为_【解析】函数yx和y在上都是增加的,所以函数f(x)x在上是增加的,所以f(x)maxf(4)4,f(x)minf(2)2.答案:关闭Word文档返回原板块

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