1、2.4.2 抛物线的简单几何性质 图形标准方程焦点坐标准线方程220ypx(p)220 xpy(p)220 xpy(p)2p(0)，2p(0,)2p(0,)220ypx(p)2p(0)，2px 2px 2py 2py 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考】抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程 研究它的一些简单几何性质.探究点1 抛物线的简单几何性质）（1)0(22ppxy1.范围 因为p0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方
2、和右下方无限延伸，y R.2.对称性 以y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？xyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的 弦AB，称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越
3、大.5.通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径 0pPFx.2M 00(,)xy方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为;(5)
4、抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.【总结提升】探究点2 抛物线几何性质的基本应用 BODFA【例1】过抛物线焦点 F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.分析：我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.BODxyFA建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为 抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为 所以，直线DB平行于抛物线的
5、对称轴.由(4)(6)可知，DBx轴.联立(1)(5)，可得点B的纵坐标为【例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在 抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则 2px1，2px2，21y22y又|OA|OB|，所以 x21y21x22y22，即 x21x222px12px20，所以(x1x2)(x1x22p)0，因为 x10，x20,2p0，所以 x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段 AB 关于 x 轴对称 由于 AB 垂直于 x 轴，且AOx30，所以y1x1tan
6、30 33，而 y212px1，所以 y12 3p，于是|AB|2y14 3p.本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明【总结提升】故这个正三角形的边长为 4 3p.xyO3.相交（一个交点，两个交点）.探究点3 直线与抛物线的位置关系 问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？1.相离；2.相切；与双曲线的情况一致 一个交点并不意味着相切哦 把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计 算 判 别 式0=00相交相切相离问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？y2=4x 分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.由方程组 101yxyx或或【变式练习】k 范围抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线抛物线只有一条对称轴,没有对称中心抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线抛物线的离心率是确定的，等于2p，2p越大，抛物线张口越大0pPFx.2顶点离心率通径焦半径对称性
