1、2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x2已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）An=45，p=Bn=45，p=Cn=90，p=Dn=90，p=3袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD14焦点为（0，
2、6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A18B20C21D406已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=（）A180B180C45D457下列说法中正确的是（）A命题“xRex0”的否定是“xR，ex0”B命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是真命题C“x2+2xax在x1，2上恒成立”“对于x1，2有（x2+2x）min（ax）max”D命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题8某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量
3、为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.68，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.544B0.68C0.8D0.859有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A150B180C200D28010把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD11在长为12cm的线段AB上任取一点C现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD12斜率为2的直线l过双曲线C：=1（a0，
4、b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A2，+）B（1，）CD（，+）二、填空题（共4题，每题20分）13的展开式中x2y2的系数为（用数字作答）14设Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=15曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2其中，所有正确结论的序号是16一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c（0
5、，1）已知他投篮一次得分的期望为2，则的最小值为三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）17设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（）若a=1，pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围18如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度|AB|=6米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？19根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示（1）已知30，40）、40
6、，50）、50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值（2）该电子商务平台将年龄在30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望20在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2bc）cosA=acosC（）求角A的大小；（）若a=3，b=2c，求ABC的面积21某城市随机抽取一
7、年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2k0）0.250.15
8、0.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10022已知定圆M：（x+）2+y2=16，动圆N过点F（，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为C直线l过点E（1，0）且与C于A，B（）求轨迹C方程；（）AOB是否存在最大值，若存在，求出AOB的最大值；若不存在，说明理由2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
9、的）1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x【考点】抛物线的标准方程【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得【解答】解：准线方程为x=2=2p=4抛物线的方程为y2=8x故选B2已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）An=45，p=Bn=45，p=Cn=90，p=Dn=90，p=【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=
10、30，npq=20，q=，则p=，n=90，故选C3袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD1【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；基本事件总数为105；设
11、“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；P（A）=故选：B4焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设所求的双曲线方程是，由 焦点（0，6）在y 轴上，知 k0，故双曲线方程是 ，据 c2=36 求出 k值，即得所求的双曲线方程【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，焦点（0，6）在y 轴上，k0，所求的双曲线方程是 ，由k+（2k）=c2=36，k=12，故所求的双曲线方程是 ，故选 B5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A18B20C21D40【考点】循
12、环结构【分析】算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n的值，计算满足条件的S值，可得答案【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n的值，S=21+22+1+2=2+4+1+2=915，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015输出S=20故选：B6已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=（）A180B180C45D45【考点】二项式定理【分析】将1+x写成2（1x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x的指数为8，求出a8【解答】解：（1+x）10=2（1x）10其展开式的通项为Tr+1
13、=（1）r210rC10r（1x）r令r=8得a8=4C108=180故选B7下列说法中正确的是（）A命题“xRex0”的否定是“xR，ex0”B命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是真命题C“x2+2xax在x1，2上恒成立”“对于x1，2有（x2+2x）min（ax）max”D命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的否定判断A的正误；逆命题的真假判断B的正误；恒成立问题判断C的正误；直接判断逆否命题的真假推出D的正误；【解答】解：对于A，命题“xRex0”的否定是“xR，ex0”，不满足命题的否定形
14、式，所以不正确；对于B，命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是假命题，因为a=0时，也只有一个零点，所以B不正确；对于C，“x2+2xax在x1，2上恒成立”“对于x1，2有（x2+2x）min（ax）max”，表示有，而是恒有（x2+2x）min（ax）max，所以C不正确；对于D，命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题，它的逆否命题是：x=2且y=1则x+y=3，显然，逆否命题是真命题，所以D正确故选：D8某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.68，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气
15、质量为优良的概率是（）A0.544B0.68C0.8D0.85【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是p，则0.8p=0.68，解得p=0.85故选：D9有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A150B180C200D280【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，
16、3若是1，1，3，则有=60种，若是1，2，2，则有=90种所以共有150种不同的方法故选：A10把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A11在长为12cm的线段AB上任取一点C现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该
17、矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】设AC=x，则0x12，若矩形面积为小于32，则x8或x4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12x，0x12若矩形面积S=x（12x）32，则x8或x4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P=故选 C12斜率为2的直线l过双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A2，+）B（1，）CD（，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，
18、推出a，b的关系，然后求出离心率的范围【解答】解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b2a，因此该双曲线的离心率e=故选D二、填空题（共4题，每题20分）13的展开式中x2y2的系数为70（用数字作答）【考点】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=（1）r，令 8=4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为 =70，故答案为：7014设Sn为等比数列an的前n
19、项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=3n1【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3an=3n1故答案为：3n115曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2其中，所有正确结论的
20、序号是【考点】轨迹方程【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断【解答】解：对于，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得： （x+1）2+y2（x1）2+y2=a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以错；对于，把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称正确；对于，由题意知点P在曲线C上，则F1PF2的面积=a2sinF1PF2，a2，所以正确故答案为：16一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2
21、分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c（0，1）已知他投篮一次得分的期望为2，则的最小值为【考点】离散型随机变量的期望与方差；基本不等式【分析】根据题意可求得3a+2b的值，然后利用=1把转化为（）展开后利用基本不等式求得问题的答案【解答】解：由题意得3a+2b=2，=（）=当且仅当a=2b=时取等号故答案为：三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）17设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（）若a=1，pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析
22、】（）若pq为真，则p真且q真，将a=1代入，分别解两个不等式（组），再求其交集可得实数x的取值范围；（）若q是p的必要不充分条件，即qp为真且pq为假，进而可得实数a的取值范围【解答】解：（）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0，当a=1时，解得1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由，得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3（）q是p的必要不充分条件，即qp为真且pq为假，设A=x|p（x），B=x|q（x），则BA，又B=（2，3，当a0时，A=（a，3a）；a0时，A=（3a，a）所以当a0时，有解得1a2；当a0
23、时，显然AB=，不合题意综上所述，实数a的取值范围是1a218如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度|AB|=6米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？【考点】抛物线的应用【分析】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论【解答】解：取隧道截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c（4，4），设抛物线方程x2=2py（p0），将点C代入抛物线方程得p=2，抛物线方程为x2=4y，行车道总宽度AB=6m，将x=3代入抛物
24、线方程，y=2.25m，限度为62.250.5=3.25m答：车辆通过隧道的限制高度是3.25米19根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示（1）已知30，40）、40，50）、50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值（2）该电子商务平台将年龄在30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回
25、访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由等差数列性质和频率分布直方图得，由此能求出a，b（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300分别求出相应的概率，由此能求出此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望【解答】解：（1）30，40）、40，50）、50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，由频率分布直方图得，解得a=0.035，b=0.025（2）
26、利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300P（X=150）=，P（X=200）=，P（X=250）=，P（X=300）=，X的分布列为：X150200250300PEX=150+200+250+300=21020在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2bc）cosA=acosC（）求角A的大小；（）若a=3，b=2c，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，
27、由sinB0，可得cosA=，结合A的范围，即可解得A的值（）由b=2c及余弦定理可求得cosA=，解得c，b，由三角形面积公式即可得解【解答】（本小题满分12分）解：（） 由（2bc）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，0B，sinB0，所以cosA=，因为0A，所以解得：A=（） 因为b=2c所以cosA=，解得c=，b=2所以SABC=bcsin A=2=21某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API0，50（50，100（100
28、，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.
29、8415.0246.6357.87910.828k2=非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由200S600，得150250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A由200S600，得150250，频数为39，P（A）=（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值
30、K2=4.5753.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关22已知定圆M：（x+）2+y2=16，动圆N过点F（，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为C直线l过点E（1，0）且与C于A，B（）求轨迹C方程；（）AOB是否存在最大值，若存在，求出AOB的最大值；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程【分析】（）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以N，F为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程（）存在AOB面积的最大值由直线l过点E（1，0），设直线l的方程为 x=my1，联立椭圆方程，整理得（m2+4）y22my3=0由=（2m）2+12（m2+4）0设A（x1，y1），B（x2，y
31、2）解得y1=，y2=再换元，结合函数的单调性，由此能求出SAOB的最大值【解答】解：（ I）易知点F（，0）在圆M：（x+）2+y2=16内，所以圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，所以|NM|+|NF|=42=|FM|，所以点N的轨迹C为椭圆，且2a=4，c=，所以b=1，所以轨迹C的方程为=1 （）存在AOB面积的最大值因为直线l过点E（1，0），设直线l的方程为 x=my1或y=0（舍）联立椭圆方程，整理得 （m2+4）y22my3=0由=（2m）2+12（m2+4）0设A（x1，y1），B（x2，y2）解得y1=，y2=则|y2y1|=SAOB=|OE|y2y1|= 设g（t）=t+，t=，t则g（t）在区间，+）上为增函数所以g（t）所以SAOB，当且仅当m=0时取等号，所以SAOB的最大值为2017年2月22日
