1、12.4复数的三角形式*学 习 目 标核 心 素 养1.了解求复数的三角形式与代数形式，能将复数的代数形式化为三角形式理解辐角、辐角主值等概念(重点)2掌握复数三角形式的乘、除法运算法则及几何意义(重点、难点)通过对复数的三角形式的乘除法法则的应用，培养学生的运算求解能力，结合乘除法几何意义的学习，培养直观想象素养.由复数的几何意义知：复数zabi(a，bR)、复平面内的点Z(a，b)以及向量之间存在着一一对应的关系，复平面内的点Z(a，b)(除了原点)，都可以看成在以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线为终边的角的终边上的点，复数zabi(a，bR)的模为r，对于非零复数zabi，能否用r，
2、表示呢？这种表示唯一吗？1复数的辐角、与辐角主值(1) 复数zabi(a，bR)在复平面内一一对应的向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角叫作复数zabi(a，bR)的辐角(2)任一非零的复数zabi(a，bR) 的辐角有无限个值，这些值相差2的整数倍，我们把其中适合于02的辐角的值叫作复数zabi(a，bR)的辐角主值记为arg z.思考：对于任意一个复数zabi(a，bR)是否都有唯一的模和辐角主值？复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数吗？提示： 每一个非零复数zabi(a，bR)都有唯一的模和辐角主值；复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数(3)两个非
3、零复数相等的充要条件两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等(4) 复数zabi(a，bR)的模与辐角主值设复数zabi(a，bR，z0)的辐角为，则cos ，sin ，其中r.复数z0，复数的模为0，辐角是任意的2复数的三角形式复数zabi(a，bR)的模为r，辐角为，则zr(cos isin )，其中r，cos ，sin .则r(cos isin )称为复数z的三角形式，而abi(a，bR)称为复数z的代数形式3复数的三角形式的乘、除法法则及几何意义(1) 复数的三角形式的乘法法则若复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2r1r2
4、cos(12)isin(12)，即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和复数乘法的几何意义在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，复数z1、z2的辐角主值分别为1、2，复数z1、z2的模分别为r1、r2，将向量按逆时针方向旋转2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为r1r2cos(12)isin(12)，即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义(2)复数的三角形式的除法法则若复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，当z20，则cos(12)isin(12
5、)即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差思考：类比复数乘法的几何意义，解释复数除法的几何意义提示：在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，复数z1、z2的辐角主值分别为1、2，复数z1、z2的模分别为r1、r2，将向量按顺时针方向旋转2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为cos(12)isin(12) 即为，这就是复数除法的几何意义1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积()(2)一个复数与i
6、相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转()(3) r(cos isin )2r2cos2isin2()(4)任意一个复数的模和辐角主值都是确定的()答案(1)(2)(3)(4) 2复数i化成三角形式，正确的是()AcosisinBcosisinCcosisinDcosisinB复数i的模r1，cos ，sin ，所以可取arg.即icosisin.故选B3设复数z1，z26，则z1z2为()A3iB3 C3iD3A z1z2633i. 故选A复数的三角形式与辐角、辐角主值【例1】将下列复数表示成三角形式，并求出其模和辐角主值(1)1i；(2)3.思路点拨(1)由三角形式，再
7、根据r，cos ，sin 求出(2)利用诱导公式转化解(1)因为|1i |2，cos ，sin ，所以1i2，所以该复数的模为2，arg(1i).(2)法一：因为3i，所以该复数的模r3，cos ，sin ，又arg z0,2)，所以arg z，所以33.法二：因为3333所以该复数的模为3，arg z.(1)复数的三角形式、辐角、辐角主值复数的三角形式的特点：r(cos isin ) ，其中r为复数的模，为辐角；对于任意一个非零复数可以有多个辐角，它们相差2的整数倍；所有辐角中在0,2)上的辐角称为复角主值(2)将非零复数化为三角形式的方法：法一：先化为三角形式r(cos isin )，再根
8、据r，cos ，sin ，求出模和辐角法二：先提取复数的模r，再结合诱导公式化为三角形式跟进训练1写出下列复数的三角形式和辐角主值(1) zi；(2)z2.解(1)法一：因为|z|i|2，cos ，sin ，所以可取arg z，从而zi的三角形式为z2.法二：zi22所以zi的三角形式为z2，arg z.(2) z222.所以arg z.复数三角形式的乘、除法法则的运算【例2】计算：(1)52；(2) .解(1)521010i.(2)i.1复数三角形式的乘法法则：z1的模乘以z2的模等于z1z2的模，z1的辐角加上z2的辐角是z1z2的辐角2复数三角形式的除法法则：z1的模除以z2的模等于的模
9、，z1的辐角减去z2的辐角是的辐角跟进训练2设复数z1i，复数z2满足|z2|2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2(0，)，求z2的代数形式解因为z12，设z22(cos isin )，(0，)，所以z1z8.由题设知22k (kZ)，所以k (kZ)，又(0，)，所以，所以z221i.复数三角形式的乘、除法法则的几何意义【例3】把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z21i，求复数z1的代数式和它的辐角主值解由复数乘法的几何意义得z1z2，又z21i2z12i；z1的辐角主值为.设z1，z2对应的向量分别为，z1，z2的模分别为r1、
10、r2，辐角分别为1、2.(1)复数乘法的几何意义：绕原点O逆时针方向旋转2，得到，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数为z1z2.(2)复数除法的几何意义：绕原点O顺时针方向旋转2，得到，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数为.跟进训练3如图，复平面内的是等边三角形OBC, B的坐标为(1,1)，求点C的坐标解因为B的坐标为(1,1)，所以|OB|，1i，将绕点O顺时针方向旋转得i，所以点C坐标为.1复数zabi(a，bR)化为三角形式为zr(cos isin )，其中r，cos ，sin .2设z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin
11、2)，则z1z2r1r2cos(12)isin(12)，cos(12)isin(12)1两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，是z1z2成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 A当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定可以推出z1z2，充分性成立；但当z1z2时，不一定非要z1，z2的辐角相等，它们可以相差2的整数倍，故必要性不成立综上，两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，是z1z2成立的充分不必要条件故选A2将复数3化为三角形式为()A3B3 C3D3. B333，故选B3复数z11i，z2i在复平面内对应的点分别为A、B，则AOB_. z11i
12、，z2i2，所以AOB.4已知等腰直角三角形OAB中，AOB，若A点对应的复数为23i，则B点对应的复数为_ 15i或5i(23i)(23i)(1 i)15i，(23i)5i，即B点对应的复数为15i或5i.5计算下列各式，并作出几何解释：(1)2；(2)2；(3)4；(4).解(1)原式2(cos isin )4(10i)4.几何解释：设z1，z22，作与z1，z2对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，得到一个长度为4，辐角为的向量，则即为积z1z24所对应的向量(2)原式22i.几何解释：设z12，z2i，作与z1，z2对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315，再将其长度变为原来的，得到一个长度为，辐角为 的向量，则即为积z1z2i所对应的向量(3)原式4222(1)(1)i.几何解释：设z144，z2，作与z1，z2对应的向量，然后把向量OZ1绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为2，辐角为的向量，则即为(1)(1)i所对应的向量(4)原式i.几何解释：设z1icosisin，z2，作与z1，z2对应的向量，然后把向量1绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为i所对应的向量
