1、13.1.3直观图的斜二测画法学 习 目 标核 心 素 养1.了解斜二测画法的概念(重点)2会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(难点、易错点)3会根据平面图形及空间图形的直观图还原出平面图形及空间图形(难点)1.通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养学生直观想象素养2借助于斜二测画法的相关计算，培养学生数学运算素养.在工程制图中，正投影被广泛应用于绘制三视图，但三视图的直观性较差如何把立体图形画在纸上？思考平面图形水平放置图应怎么画图，才能体现图形的立体感？1用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时
2、，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半2空间图形的直观图的斜二测画法规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90，且yOz90.(2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy45(或135)，xOz90，x轴和y轴所确定的平面表示水平面(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观
3、图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半思考：画平面图形直观图的关键和注意点是什么？提示：(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45(或135)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变()(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的()(3)画与直角坐标系xOy对
4、应的坐标系xOy时，xOy必须是45()(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同()答案(1)(2)(3)(4)2下列说法正确的是()A相等的角，在直观图中仍相等B长度相等的线段，在直观图中长度仍相等C若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行D若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直C由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确3已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为_ cm.5由空间直观图的画法知，在z轴上或
5、平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm3 cm5 cm.4如图是水平放置的ABC的直观图ABC，ABy轴，则ABC的形状是_三角形直角由斜二测画法规则知，在直观图中，ABBC，所以ABC是直角三角形画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图思路点拨解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图1在画水平放置
6、的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段跟进训练1画一个锐角为45的平行四边形的直观图(尺寸自定)解如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系xOy，如图(2)在x轴上截取OAOA，OBOB(1)(2)在y轴上截取ODOD，过D作线段DCDC且DCAB，连接BC，AD，则四边形ABCD即为ABCD的直观图画空间图形的直观图【例2】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个
7、正三棱锥的直观图思路点拨根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可解(1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示(2)过正三角形中心O建立z轴，画出正三棱锥顶点V，使VO3 cm，连接VA，VB，VC，如图(2)所示(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)(1)(2)(3)1用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系2在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观
8、图即可3z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致跟进训练2用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图解(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面：在平面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长(4)成图：顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示(1)(2)将直观图还原为原平面图形探究问题1如图所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什
9、么图形？提示矩形因为DAB45，由斜二测画法规则知DAB90，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形2如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少？提示不是等腰梯形，是直角梯形根据斜二测画法，等腰梯形ABCD的高为，所以AB121，在平面图形中，AB的长为1，CD的长为1，AD的长为2，所以这个平面图形的面积为(11)22.【例3】如图，ABC是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形思路点拨解(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；(2)过B作BD
10、y轴，交x轴于D，如图(1)所示在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；(3)连接AB，BC，得ABC则ABC即为ABC对应的平面图形，如图(2)所示(1)(2)由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可跟进训练3已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积解建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C，使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知
11、ABACa，CD为ABC边AB上的高，CDa，OCaa，OCa，故SABCABOCaaa2.1本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图2本节课要重点掌握的规律方法(1)画平面图形直观图的方法步骤(2)画简单空间图形直观图的方法步骤(3)直观图与原图形之间的关系3本节课的易错点是直观图、原空间图形形状之间的相互转换1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点B根据斜二
12、测画法，原来垂直的未必垂直2把ABC按斜二测画法得到ABC(如图所示)，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C底边与腰不相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形A根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得ABBCAC2，故ABC为等边三角形，故选A3用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是_答案椭圆4如图所示，梯形ABCD是一平面图形ABCD的直观图若ADOy，ABCD，ABCD2，ADOD1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD1，OCOC2.在过点D的y轴的平行线上截取DA2DA2.在过点A的x轴的平行线上截取ABAB2.连接BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.
