1、第48课基本不等式及其应用(二)一、 填空题 1. 已知函数y=x-3+(x-1).若当x=a时,该函数取得最小值b,则a+b=. 2. (2014四川卷)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PAPB的最大值是. 3. (2014武汉模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为.(第3题) 4. 若正数x,y满足2x+y-3=0,则的最小值为. 5. 设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为. 6. 若对任意的x0, a恒成立,则实数a的取值范围是. 7. 设奇函数f(x)
2、在-1,1上是单调增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1,1都成立,则当a-1,1时,实数t的取值范围是. 8. (2014宁德模拟)已知关于x的不等式x2-4ax+3a20)的解集为(x1,x2),那么x1+x2+的最小值为.二、 解答题 9. (2014安丰高级中学)已知在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1) 求角A的大小;(2) 若a=2,求ABC面积S的最大值.10. (2014湖北模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点(x,y)为该抛物线上的动点,且点A(-2,0),求的取值范围.11. 如
3、图,两个工厂A,B相距2 km,点O为AB的中点,现要在以O为圆心、2 km 为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼,其中MAAB,NBAB.据测算,此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比,比例系数是1;办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比,比例系数是4;办公楼受A,B两厂的“总噪音影响度”y是受A,B两厂“噪音影响度”的和,设AP为x km.(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数解析式,并求出该函数的定义域.(2) 当AP为多少时,“总噪音影响度”最小?(第11题)第48课基本不等式及其应用(二)1. 4解析:y=x-3+=x+1+-4,因为x-1,所
4、以x+10,0,由均值不等式得y=x+1+-42-4=2,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=2,a+b=4. 2. 5解析:由题意可知,定点A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,则其交点P(x,y)落在以AB为直径的圆上,所以PA2+PB2=AB2=10,所以PAPB=5,当且仅当PA=PB时,等号成立.3. 20m解析:设矩形花园另一边长为y m,则=,所以x+y=40,所以面积S=xy=400,当且仅当x=y=20时等号成立,即当x=20时面积最大.4. 3解析:由2x+y-3=0,得+=1,则=+=+2+=3. 5. 4解析:由题意知3a3b=,即3a+b=3
5、,所以a+b=1.所以+=+=2+2+2=4,当且仅当a=b=时取等号,所以最小值为4. 6. 解析:因为x0,所以x+2(当且仅当x=1时取等号),所以=,即的最大值为,故a.7. t|t-2或t=0或t2解析:因为奇函数f(x)在-1,1上是单调增函数,且f(-1)=-1,所以最大值为f(1)=1,要使f(x)t2-2at+1对所有的x-1,1都成立,则1t2-2at+1,即t2-2at0,即t(t-2a)0,当t=0时,不等式成立,当0a1时,不等式的解为t2;当-1a0时,不等式的解为t-2. 8. 解析:由题意知x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+=4a+2 =,当且
6、仅当a=时,等号成立.9. (1) 由已知得=,所以sinA=.又因为ABC为锐角三角形,所以A=60.(2) 因为a=2,A=60,所以b2+c2=bc+4,S=bcsinA=bc.又b2+c22bc,所以bc+42bcbc4,所以S=bc4=,所以ABC面积S的最大值为.10. 由抛物线的定义可得PF=x+2,又PA=,所以=,当x=0时,=1;当x0时,=,因为x+2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以x+48,所以1,所以(1,.综上,的取值范围是1,.11. (1) 连接OP,设AOP=,则.在AOP中,由余弦定理得x2=12+22-212cos=5-4cos,在BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-212cos(-)=5+4cos,所以BP2=10-x2,则y=+=+.因为,所以-cos,所以35-4cos7,即x.所以y=+,定义域为,.(2) 方法一:由(1)得y=+=（+）x2+(10-x2)=,当且仅当=,即x2=时取等号,此时x=,.故当AP为km时,“总噪音影响度”最小.方法二:令t=x2,则y=+(3t7),所以y=+=.令y=0,得t=或t=-10(舍去).当t时,y0,函数单调递增.所以当t=,即x=,时,y有最小值.故当AP为km时,“总噪音影响度”最小.
