1、北京市西城区2012 2013学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2013.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【KS5U解析】，所以，即，选D. 2在复平面内，复数的对应点位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B【KS5U解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.3在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【KS5U解析】先将极坐标化成直角坐标表示， 转
2、化为点，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标 为，选A. 4执行如图所示的程序框图若输出， 则框图中 处可以填入（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C【KS5U解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C.5已知函数，其中为常数那么“”是“为奇函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【KS5U解析】若，则为奇函数。若为奇函数，则有，即，所以是为奇函数的充分必要条件，选C.6已知是正数，且满足那么的取值范围是（ ）（A）（B）（
3、C）（D）【答案】B【KS5U解析】原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，表示区域内的动点到原点距离的平方，由图象可知当在D点时，最大，此时，原点到直线的距离最小，即，所以，即的取值范围是，选B.7某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C 【KS5U解析】由三视图可知该四面体为,其中,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选C.8将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【KS5U解析】将正整数随机分成两组，使得每
4、组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知向量，.若向量与向量共线，则实数 _【答案】【KS5U解析】，因为向量与向量共线，所以，解得。10如图，中，以为直径的圆交于点，则 ；_【答案】，【KS5U解析】因为，所以，又为直径，所以。所以，即。，所以。11设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则_ 【答案】6【KS5U解析】设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。12已知椭圆 的两个焦点是，点在该椭圆上若，则的面积是
5、_ 【答案】【KS5U解析】由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以的面积。13已知函数，其中当时，的值域是_；若的值域是，则的取值范围是_ 【答案】，【KS5U解析】若，则，此时，即的值域是。若，则，。因为当或时，所以要使的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是。14已知函数的定义域为若常数，对，有，则称函数具有性质给定下列三个函数： ； ； 其中，具有性质的函数的序号是_【答案】【KS5U解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。若，则由得，即，所以，恒成立。所以具有性质P. 若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以不具有性质P。若，则由得由，整理得，所
6、以当只要，则成立，所以具有性质P，所以具有性质的函数的序号是。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，已知 （）求角的值； （）若，求的面积 16（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值17（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B（）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，
7、若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（）的前提下，（）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率18（本小题满分13分）已知函数，其中（）求的单调区间；（）设若，使，求的取值范围19（本小题满分14分）如图，已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，（）求的值；（）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值20（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合对于，记为
8、的第行各数之积，为的第列各数之积令（）请写出一个，使得；（）是否存在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合 北京市西城区2012 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1D； 2B； 3A； 4C； 5C； 6B； 7C； 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10，； 11； 12； 13，； 14注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小
9、题满分13分） （）解法一：因为， 所以 3分 因为 ， 所以 ， 从而 ， 5分所以 6分解法二： 依题意得 ，所以 ，即 3分因为 ， 所以 ，所以 5分所以 6分（）解法一：因为 ， 根据正弦定理得 ， 7分所以 8分因为 ， 9分所以 ， 11分所以 的面积 13分解法二：因为 ， 根据正弦定理得 ， 7分所以 8分根据余弦定理得 ， 9分化简为 ，解得 11分所以 的面积 13分16（本小题满分14分）（）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以，
10、 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分解法二：取中点，中点，连结，因为为正方形，所以由（）可得平面因为，所以由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分17（本小题满分13分）（
11、）解：元件A为正品的概率约为 1分元件B为正品的概率约为 2分（）解：（）随机变量的所有取值为 3分； ； 7分所以，随机变量的分布列为:8分 9分（）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.依题意，得 ， 解得 所以 ，或 11分 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，则 13分18.（本小题满分13分）（）解： 当时， 故的单调减区间为，；无单调增区间 1分 当时， 3分令，得，和的情况如下：故的单调减区间为，；单调增区间为5分 当时，的定义域为 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间7分（）解：因为，所以 等价于 ，其中 9分设，在区间上的最大值为11分则“，
12、使得 ”等价于所以，的取值范围是 13分19（本小题满分14分）（）解：依题意，设直线的方程为 1分将其代入，消去，整理得 4分从而 5分（）证明：设， 则 7分设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 9分所以 10分同理可得 11分故 13分由（）得 ，为定值 14分20（本小题满分13分）（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分 证明如下：假设存在，使得 因为， ， 所以，这个数中有个，个 令 一方面，由于这个数中有个， 个，从而 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而 、相矛盾，从而不存在，使得 8分（）解：记这个实数之积为 一方面，从“行”的角度看，有； 另一方面，从“列”的角度看，有从而有 10分注意到， 下面考虑，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以 12分对数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合为13分
