1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 23 直线、平面垂直的判定及其性质233 直线与平面垂直的性质234 平面与平面垂直的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理2会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题3理解“平行”与“垂直”之间的相互转化学 习 目 标自主导学预习课本 P70P72,思考并完成以下问题知识点一|直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线 1 _符号语言ab 2 _平行ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线思考探究|辨别正误|1垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗?提示 共面
2、由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面2过一点有几条直线与已知平面垂直?提示 有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线知识点二|平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直,则 3 _垂直于 4 _的直线与另一个平面 5 _符号语言l6 _7 _a一个平面内交线垂直aal图形语言作用面面垂直 8 _垂直作面的垂线线面思考探究|辨别正误|判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的任意一条直线,则.()(2)若平面 内任一直线平行于平面,
3、则.()(3)若平面 平面,任取直线 l,则必有 l.()(4)若平面 平面,任取直线 l,则必有 l.()剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 直线与平面垂直的性质及应用【例 1】如图,正方体 A1B1C1D1ABCD 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相交求证:EFBD1.证明 如图所示,连接 AB1,B1D1,B1C,BD,DD1平面 ABCD,AC平面 ABCD,DD1AC.又 ACBD,DD1BDD,AC平面 BDD1B1,又 BD1平面 BDD1B1,ACBD1.同理可证 BD1B1C,又 ACB1CC,BD1平面 AB1C.EFA1D,A1DB1C,EFB1C.又EFAC
4、,ACB1CC,EF平面 AB1C,EFBD1.证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.|方法总结|1已知 AB,PQ 于点 Q,PO 于点 O,OR 于点 R.求证:QRAB.证明:如图,因为 AB,PO 于点 O,所以 POAB.因为 PQ 于点 Q,所以 PQAB.因为 POPQP,所以 AB平面 PQO.因为 OR 于点 R,所以
5、 PQOR.因为 PQ 与 OR 确定平面 PQRO,QR平面 PQRO,AB平面 PQRO,所以 ABQR.题型二 平面与平面垂直的性质及应用【例 2】如图,在三棱锥 VABC 中,平面 VAB平面 ABC,VAB 为等边三角形,ACBC 且 ACBC 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点(1)求证:VB平面 MOC;(2)求证:平面 MOC平面 VAB;(3)求三棱锥 VABC 的体积解(1)证明:O,M 分别为 AB,VA 的中点,OMVB.VB平面 MOC,OM平面 MOC,VB平面 MOC.(2)证明:ACBC,O 为 AB 的中点,OCAB.又平面 VAB平面 ABC,且平面 V
6、AB平面 ABCAB,OC平面 ABC,OC平面 VAB.OC平面 MOC,平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角ACB 中,ACBC 2,AB2,OC1,SVAB 34 AB2 3.OC平面 VAB,VCVAB13OCSVAB131 3 33,VVABCVCVAB 33.1证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若ab,a,则b(a,b为直线,为平面);(4)若a,则a(a为直线,为平面)2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.|方法总结|2如图所示,在三棱锥 SABC 中,平面
7、 SAB平面 SBC,ABBC,过点 A 作 AFSB,垂足为 F.求证:BCSA.证明:因为平面 SAB平面 SBC,平面 SAB平面 SBCSB,AF平面 SAB,AFSB,所以 AF平面 SBC.又因为 BC平面 SBC,所以 AFBC.因为 ABBC,AFABA,所以 BC平面 SAB.又因为 SA平面 SAB,所以 BCSA.题型三 线线、线面、面面垂直的综合问题【例 3】如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且ABBCBD2.ABCDBC120,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点(1)求证:EF平面 BCG;(2)求三棱锥 DBCG 的体积附:锥体的体积公式 V13S
8、h,其中 S 为底面面积,h 为高解(1)证明:ABBCBD2,ABCDBC120,ABCDBC,ACDC.G 为 AD 的中点,CGAD.同理 BGAD,CGBGG,AD平面 BGC.又E,F 分别是 AC,CD 的中点,EFAD,EF平面 BCG.(2)在平面 ABC 内,作 AOCB,交 CB 的延长线于 O,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,平面 ABC平面 BCDBC,且 AO平面 ABC,AO平面 BCD.G 为 AD 的中点,G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半在AOB 中,AOABsin 60 3,h 32.连接 BF,BDBC,BFDC,在BCD 中,BFB
9、Dcos 602121,DFBDsin 60 3,DC2 3,故 SDCB12BFDC1212 3 3.VDBCGVGBCD13SDCBh13 3 32 12.【探究 1】变结论若例 3 中条件不变,证明:平面 BCG平面 ACD.证明 在例 3 中知 EF平面 BCG,又知 EF平面 ACD,平面 BCG平面 ACD.【探究 2】变条件若例 3 中的条件ABCDBC120,改为ABCDBC90,EF 还垂直于平面 BCG 吗?证明 由已知得:ABCDBC,因此,ACDC,又 G 为 AD 的中点,则 CGAD;同理,BGAD,BGCGG,因此 AD平面 BCG.由题知,EF 为DAC 的中位
10、线,所以 EFAD,所以 EF平面 BCG.证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.|方法总结|3如图,在三棱锥 PABC 中,E,F分别为 AC,BC 的中点(1)求证:EF平面 PAB;(2)若平面 PAC平面 ABC,且 PAPC,ABC90.求证:平面 PEF平面 PBC.证明:(1)E,F 分别为 AC,BC 的中点,EFAB.又 EF平面 PAB,AB平
11、面 PAB,EF平面 PAB.(2)PAPC,E 为 AC 的中点,PEAC.又平面 PAC平面 ABC,PE平面 ABC,PEBC.又F 为 BC 的中点,EFAB.ABC90,BCEF.EFPEE,BC平面 PEF.又BC平面 PBC,平面 PBC平面 PEF.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个联系:线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2一种思想:面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的转化与化归思想,其转化关系如下:自测检评1下列命题中错误的是()A如果平面 平面,
12、那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面,平面 平面,l,那么 l平面 D如果平面 平面,那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析:选 D 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出 D项错误2ABC 所在的平面为,直线 lAB,lAC,直线 mBC,mAC,则不重合的直线 l,m 的位置关系是()A相交 B异面C平行D不确定解析:选 C 直线 lAB,lAC,且 ABACA,l平面,同理直线 m平面.由线面垂直的性质定理可得 lm.3若 a,b 表示直线(不重合),表示平面,有下列说法:a,bab;a,abb;a,abb;a
13、,bab.其中正确的序号是_解析:由线面垂直的定义及性质定理可知,正确;中 b 可能满足 b,故错误;中 b 可能与 相交但不垂直也可能平行,故不正确答案:4平面 平面,l,n,nl,直线 m,则直线 m 与 n 的位置关系是_解析:由题意知 n,而 m,mn.答案:平行5.如图所示,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧面 SDC底面 ABCD,求证:平面 SDC平面 SBC.证明:因为底面 ABCD 是矩形,所以 BCCD.又平面 SDC平面 ABCD,平面 SDC平面 ABCDCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 SDC,又因为 BC平面 SBC,所以平面 SDC平面 SBC.word部分:请做:课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块