1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 23 直线、平面垂直的判定及其性质233 直线与平面垂直的性质234 平面与平面垂直的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理2会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题3理解“平行”与“垂直”之间的相互转化学 习 目 标自主导学预习课本 P70P72，思考并完成以下问题知识点一|直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线 1 _符号语言ab 2 _平行ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线思考探究|辨别正误|1垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示 共面
2、由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面2过一点有几条直线与已知平面垂直？提示 有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线知识点二|平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直，则 3 _垂直于 4 _的直线与另一个平面 5 _符号语言l6 _7 _a一个平面内交线垂直aal图形语言作用面面垂直 8 _垂直作面的垂线线面思考探究|辨别正误|判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的任意一条直线，则.()(2)若平面 内任一直线平行于平面，
3、则.()(3)若平面 平面，任取直线 l，则必有 l.()(4)若平面 平面，任取直线 l，则必有 l.()剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 直线与平面垂直的性质及应用【例 1】如图，正方体 A1B1C1D1ABCD 中，EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交求证：EFBD1.证明 如图所示，连接 AB1，B1D1，B1C，BD，DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，DD1AC.又 ACBD，DD1BDD，AC平面 BDD1B1，又 BD1平面 BDD1B1，ACBD1.同理可证 BD1B1C，又 ACB1CC，BD1平面 AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC
4、，ACB1CC，EF平面 AB1C，EFBD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.|方法总结|1已知 AB，PQ 于点 Q，PO 于点 O，OR 于点 R.求证：QRAB.证明：如图，因为 AB，PO 于点 O，所以 POAB.因为 PQ 于点 Q，所以 PQAB.因为 POPQP，所以 AB平面 PQO.因为 OR 于点 R，所以
5、 PQOR.因为 PQ 与 OR 确定平面 PQRO，QR平面 PQRO，AB平面 PQRO，所以 ABQR.题型二 平面与平面垂直的性质及应用【例 2】如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC 的体积解(1)证明：O，M 分别为 AB，VA 的中点，OMVB.VB平面 MOC，OM平面 MOC，VB平面 MOC.(2)证明：ACBC，O 为 AB 的中点，OCAB.又平面 VAB平面 ABC，且平面 V
6、AB平面 ABCAB，OC平面 ABC，OC平面 VAB.OC平面 MOC，平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角ACB 中，ACBC 2，AB2，OC1，SVAB 34 AB2 3.OC平面 VAB，VCVAB13OCSVAB131 3 33，VVABCVCVAB 33.1证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a，b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.|方法总结|2如图所示，在三棱锥 SABC 中，平面
7、 SAB平面 SBC，ABBC，过点 A 作 AFSB，垂足为 F.求证：BCSA.证明：因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCSB，AF平面 SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC.又因为 BC平面 SBC，所以 AFBC.因为 ABBC，AFABA，所以 BC平面 SAB.又因为 SA平面 SAB，所以 BCSA.题型三 线线、线面、面面垂直的综合问题【例 3】如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2.ABCDBC120，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点(1)求证：EF平面 BCG；(2)求三棱锥 DBCG 的体积附：锥体的体积公式 V13S
8、h，其中 S 为底面面积，h 为高解(1)证明：ABBCBD2，ABCDBC120，ABCDBC，ACDC.G 为 AD 的中点，CGAD.同理 BGAD，CGBGG，AD平面 BGC.又E，F 分别是 AC，CD 的中点，EFAD，EF平面 BCG.(2)在平面 ABC 内，作 AOCB，交 CB 的延长线于 O，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，平面 ABC平面 BCDBC，且 AO平面 ABC，AO平面 BCD.G 为 AD 的中点，G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半在AOB 中，AOABsin 60 3，h 32.连接 BF，BDBC，BFDC，在BCD 中，BFB
9、Dcos 602121，DFBDsin 60 3，DC2 3，故 SDCB12BFDC1212 3 3.VDBCGVGBCD13SDCBh13 3 32 12.【探究 1】变结论若例 3 中条件不变，证明：平面 BCG平面 ACD.证明 在例 3 中知 EF平面 BCG，又知 EF平面 ACD，平面 BCG平面 ACD.【探究 2】变条件若例 3 中的条件ABCDBC120，改为ABCDBC90，EF 还垂直于平面 BCG 吗？证明 由已知得：ABCDBC，因此，ACDC，又 G 为 AD 的中点，则 CGAD；同理，BGAD，BGCGG，因此 AD平面 BCG.由题知，EF 为DAC 的中位
10、线，所以 EFAD，所以 EF平面 BCG.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.|方法总结|3如图，在三棱锥 PABC 中，E，F分别为 AC，BC 的中点(1)求证：EF平面 PAB；(2)若平面 PAC平面 ABC，且 PAPC，ABC90.求证：平面 PEF平面 PBC.证明：(1)E，F 分别为 AC，BC 的中点，EFAB.又 EF平面 PAB，AB平
11、面 PAB，EF平面 PAB.(2)PAPC，E 为 AC 的中点，PEAC.又平面 PAC平面 ABC，PE平面 ABC，PEBC.又F 为 BC 的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面 PEF.又BC平面 PBC，平面 PBC平面 PEF.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个联系：线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2一种思想：面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：自测检评1下列命题中错误的是()A如果平面 平面，
12、那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面 平面，l，那么 l平面 D如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选 D 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出 D项错误2ABC 所在的平面为，直线 lAB，lAC，直线 mBC，mAC，则不重合的直线 l，m 的位置关系是()A相交 B异面C平行D不确定解析：选 C 直线 lAB，lAC，且 ABACA，l平面，同理直线 m平面.由线面垂直的性质定理可得 lm.3若 a，b 表示直线(不重合)，表示平面，有下列说法：a，bab；a，abb；a，abb；a
13、，bab.其中正确的序号是_解析：由线面垂直的定义及性质定理可知，正确；中 b 可能满足 b，故错误；中 b 可能与 相交但不垂直也可能平行，故不正确答案：4平面 平面，l，n，nl，直线 m，则直线 m 与 n 的位置关系是_解析：由题意知 n，而 m，mn.答案：平行5.如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC底面 ABCD，求证：平面 SDC平面 SBC.证明：因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.又平面 SDC平面 ABCD，平面 SDC平面 ABCDCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 SDC，又因为 BC平面 SBC，所以平面 SDC平面 SBC.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块