1、2022年高考数学复习新题速递之导数（2021年9月）一选择题（共10小题）1（2021春乐山期中）曲线在点，处切线为，则等于ABC4D22（2021春乐山期中）已知函数导函数为，且满足关系式（1），则（1）的值等于ABCD3（2021春乐山期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表述不正确的是A在处取极小值B在处取极小值C在上为减函数D在上为增函数4（2021春古城区校级期中）已知定义在上的函数，是其导函数，且满足，（1），则不等式的解集为ABCD5（2021春大竹县校级期中）已知函数，若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是A，B，CD6（2021春大竹县校级期中）函数在定义域
2、内恒满足，其中为的导函数，则ABCD7（2021春岑溪市期中）曲线在点处的切线方程为ABCD8（2019春思明区校级期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于ABCD9曲线在点处切线的倾斜角为A1BCD10（2021春电白区期中）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则ABC2D3二多选题（共3小题）11（2021春顺德区校级期中）已知，下列说法正确的是A在处的切线方程为B单调递增区间为C的极大值为D的极小值点为12（2021春电白区期中）已知函数，其导函数的图象经过点，如图所示，则下列说法中正确的是A当时，函数取得最小值B在上单调递增C当时，函数取得极小值D当时，函数取得极
3、大值13（2021春徐州期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是A（b）（a）（c）B函数在处取得极小值，在处取得极大值C函数在处取得极大值，在处取得极小值D函数的最小值为（d）三填空题（共4小题）14（2021春安徽期中）已知实数与是函数的两个极值点，且，则（b）（a）的最小值为 15（2021春乐山期中）若曲线的一条切线与直线互相垂直，则该切线方程为 16（2021春宜兴市校级期中）已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是 17（2021春邯郸期中）已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围为 四解答题（共5小题）18（2021思明区校级模拟）已知
4、函数，（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，证明：19（2021鸡冠区校级三模）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若的极大值点为，求证：20（2021南明区校级模拟）已知函数在，上的最小值为（1）求的值；（2）讨论函数的零点个数21（2021孟津县校级模拟）定义在上的关于的函数（1）若，讨论的单调性；（2）在，上恒成立，求的取值范围22（2021孟津县校级模拟）函数（1）讨论的极值点的个数；（2）设，若恒成立，求的取值范围2022年高考数学复习新题速递之导数（2021年9月）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2021春乐山期中）曲线在点，处切线为，则等于ABC
5、4D2【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】由题意可得，再由导数的极限定义，可得所求值【解答】解：在点，处切线为，可得，则故选：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及导数的极限定义，考查转化思想和运算能力，属于基础题2（2021春乐山期中）已知函数导函数为，且满足关系式（1），则（1）的值等于ABCD【答案】【考点】导数的运算【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】利用基本初等函数的求导公式求出，然后令，求解（1）即可【解答】解：因为（1），则，所以（1）（1），则（1）故选：【点评】本题考查了导数
6、的运算，主要考查了基本初等函数的求导公式的运用，考查了化简运算能力，属于基础题3（2021春乐山期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表述不正确的是A在处取极小值B在处取极小值C在上为减函数D在上为增函数【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；逻辑推理【分析】根据导函数图像，利用导数与函数单调性和极值的关系，即可求得答案【解答】解：由图像可知，当，时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，所以，当，时，取极大值，当时，取极小值，所以不正确，正确，故选：【点评】本题考查导致的应用，考查导数与单调性和极值的关系，属于基础题4（2021春古城
7、区校级期中）已知定义在上的函数，是其导函数，且满足，（1），则不等式的解集为ABCD【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；数学运算【分析】令，依题意可得，为上的增函数，又（1），即（1），从而可得答案【解答】解：令，为上的增函数，又（1），即（1），不等式的解集为，故选：【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查等价转化思想，考查了逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题5（2021春大竹县校级期中）已知函数，若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是A，B，CD【答案】【考点】利用导数研究函数的最值【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推
8、理【分析】将问题转化为存在实数使得恒成立，即可求解【解答】解：要存在实数使得恒成立，一正一负恒成立，检验当时，所以存在实数使得恒成立，先考虑存在实数使得恒成立，记，所以，单调递增，单调递减，所以，所以，再考虑存在实数使得恒成立，即，只需，恒成立，设，单调递增，单调递减，所以（2），解得，故选：【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题6（2021春大竹县校级期中）函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则ABCD【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用；逻辑推理；数学运算；计算题；函数思想；构造法【分析】分别构造函数，利用导数研究其单调性，即可求得的取值
9、范围【解答】解：令，恒成立，则，函数在上单调递增，（3）（4），即（3）（4），；令，恒成立，函数在上单调递减，（3）（4），即，综上可得，故选：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（2021春岑溪市期中）曲线在点处的切线方程为ABCD【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程【解答】解：由已知得，故斜率为，故，即故选：【点评】本题考查导数的几何意义及应用，属于基础题8（2019春思明区校级期中）设曲线在点
10、处的切线与直线平行，则实数等于ABCD【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出的导函数，求得切线的斜率，利用曲线在点处的切线与直线平行，即可求得值【解答】解：由曲线，可得，当时，曲线在点处的切线与直线平行，则故选：【点评】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行与斜率的关系，属于基础题9曲线在点处切线的倾斜角为A1BCD【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由斜率等于倾斜角的正切值求切线的倾斜角【解答】解：由，
11、得，即曲线在点处切线的斜率为1，则曲线在点处切线的倾斜角为故选：【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题10（2021春电白区期中）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则ABC2D3【答案】【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算【分析】求出，由题意建立等式，求解的值即可【解答】解：因为，则，因为汽车在时的瞬时速度为4，所以，解得故选：【点评】本题考查了导数在物理中的应用，解题的关键是掌握位移的导数即为瞬时速度，考查了逻辑推理能力，属于基础题二多选题（共3小题）11（2021春顺德区
12、校级期中）已知，下列说法正确的是A在处的切线方程为B单调递增区间为C的极大值为D的极小值点为【答案】【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算【分析】对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，可判断选项；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项，【解答】解：，（1），（1），的图象在点处的切线方程为（1），即，故正确；在上，单调递增，在上，单调递减，是的极大值点，故，错误，的极大值也是最大值为（e），故正确；故选：【点评】本题考查导数的综合应用，单调性，最值，切线方程，属于
13、中档题12（2021春电白区期中）已知函数，其导函数的图象经过点，如图所示，则下列说法中正确的是A当时，函数取得最小值B在上单调递增C当时，函数取得极小值D当时，函数取得极大值【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】根据极值的定义及图形，便能看出函数分别在，和处取得极值，从而能判断说法正确的个数【解答】解：通过图形知道，在上单调递增，是函数的极大值点，是函数的极小值点，、正确故选：【点评】本题考查极大值和极小值的概念，以及对函数图象观察的能力，是中档题13（2021春徐州期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所
14、示，则下列叙述错误的是A（b）（a）（c）B函数在处取得极小值，在处取得极大值C函数在处取得极大值，在处取得极小值D函数的最小值为（d）【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】利用的图象，确定的正负，从而得到的单调性，再确定的根，结合函数极值的定义，分析四个选项即可【解答】解：由导函数的图象可知，函数在区间，内，则单调递增，在区间内，则单调递减，所以（c）（a），故选项错误；函数在处取得极大值，在处取得极小值，故选项错误，选项正确；函数没有最小值，故选项错误故选：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用，利用导数研究函数
15、极值的应用，解题的关键是掌握函数与图象的关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题三填空题（共4小题）14（2021春安徽期中）已知实数与是函数的两个极值点，且，则（b）（a）的最小值为 【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算【分析】结合二次函数的性质求出，得到（b）（a），令，根据函数的单调性求出函数的最小值即可【解答】解：，定义域是，方程的两根正根分别是，则，解得：，且，则，则（b）（a），令，则，当，时，恒成立，在，上单调递增，（e），则（b）（a）的最小值是，故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题15（
16、2021春乐山期中）若曲线的一条切线与直线互相垂直，则该切线方程为 【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数，由题意求得切点的坐标，则切线方程可求【解答】解：由，得，设切点为，则，由题意，得，切点坐标为，切线方程为，即故答案为：【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题16（2021春宜兴市校级期中）已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是 【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】分类讨论；方程思想；转化法；导数的综合应用；
17、数学运算【分析】函数，令，对于及其分类讨论，即可得出函数的单调性极值，根据函数的极小值大于零及其根与系数的关系即可得出实数的取值范围【解答】解：函数，令，令，解得，此时，函数在上的单调递增，函数无极值时，函数在上的单调递增，函数无极值时，设方程的两个实数根为，解得：，因此可得：函数在上单调递减，在，上单调递增时函数取得极小值，（1），又在上单调递增，解得实数的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了了推理能力与计算能力，属于难题17（2021春邯郸期中）已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围为 ，【答案】【考点】利用导数研
18、究函数的单调性【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】先求得函数是上的奇函数，把不等式转化为，利用导数判断函数的单调性，进一步将不等式转化为，求解即可【解答】解：由题意可得，函数的定义域为，又，故函数是上的奇函数，又因为，当且仅当时取等号，所以在定义域上为单调递增函数，则不等式可变形为，则，解得，故实数的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，函数奇偶性的判断，利用导数研究函数单调性的应用，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题四解答题（共5小题）18（2021思明区校级模拟）已知函数，（1
19、）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【考点】利用导数研究函数的最值【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）由，得恒成立，令，利用导数求其最小值，即可得到的取值范围；（2）当时，利用导数求出的最小值，的最大值，再由的最小值大于的最大值得结论【解答】解：（1）由，即恒成立，得恒成立令，则由，得当时，单调递减；当时，单调递增，函数在时取到最小值，即，故的取值范围是；证明：（2）当时，要证，即要证，由，得，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，在处取到极小值，也是最小值，即令，则，令，则，当时，在上单调递减，令，得，当时，单调递增；
20、当时，单调递减，从而可得，而，故当时，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属难题19（2021鸡冠区校级三模）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若的极大值点为，求证：【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）见证明过程【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）当时，函数，求导即可得出函数的单调区间（2）当时，令，对判别式与分类讨论即可得出函数的单调性极大值点与极大值，进而证明结论【解答】
21、解：（1）当时，函数，可得函数在上单调递增，在上单调递减因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明：当时，令，由，解得，则，函数在上单调递增，无极值，不满足题意，舍去由，解得，设方程的两个实数根分别为，则，则则，可得函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增可得的极大值点为，令，函数在上单调递增，在，上单调递减【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论、转化方法，考查了了推理能力与计算能力，属于难题20（2021南明区校级模拟）已知函数在，上的最小值为（1）求的值；（2）讨论函数的零点个数【答案】（1）；（2）当或时，函数有1个零点；当或时
22、，函数有2个零点；当时，函数有3个零点【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的最值【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用导数分，和四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出的值；（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案【解答】解：（1）由，当时，在，上恒大于等于0，所以在，上单调递增，不合题意；当时，则，时，单调递减；，时，单调递增，所以，所以，不满足；当时，在，上，且不恒为0，所以在，上单调递减，适合题意；当时，在，上，所以在，上单调递减，所以，不满足；综上，（2）由（1），所以，令，则，所以（
23、2），且当时，；当时，；当时，所以，（2），如图：当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系、利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题21（2021孟津县校级模拟）定义在上的关于的函数（1）若，讨论的单调性；（2）在，上恒成立，求的取值范围【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）求出函数的导函数，分别令和即可判断函数的单调递减区间和递增区间；（2）由（1），分情况讨论、和，并分别利用导数研
24、究函数的最值验证是否满足题意，进而得出的取值范围【解答】解：（1），时，在上，单调递减；在上，单调递增（2）由（1），若，在，上，单调递增，（2），不合题意；若，在上，；在，上，（2），由题意，若，在上，单调递减，则在，上，符合题意，综上所述，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、含参数恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属中档题22（2021孟津县校级模拟）函数（1）讨论的极值点的个数；（2）设，若恒成立，求的取值范围【答案】（1）当时，函数的极值点的个数为0，当时，的极值点的个数为1；（2），【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合
25、法；转化法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）求出的导函数，对分类讨论，利用导数即可求解极值点的个数；（2）将不等式转化为恒成立，设，利用导数求得的最大值，从而可得的取值范围【解答】解：（1），当时，单调递增，函数无极值点；当时，而，故不是极值点，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以有唯一的极值点，综上可得，当时，函数的极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为1（2）恒成立恒成立，设，有，所以，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得最大值，由题意，所以的取值范围为，【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题考点卡
26、片1函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的但是，他们的解法其实质是一样的【解法】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）例题：求函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点解：f（x）x4+5x327x2101x70（x5）（x+7）（x+2）（x+1）函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点是：5、7、2、1 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或
27、者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可【考查趋势】 考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可2变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿yf（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数yf（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为把（x2x1）叫做自变量的改变量，记做x；函数值的变化f（x2）f（x1）叫做因变量的改变量，记做y函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记xx2x1，yf（x2）f（x
28、1），则函数的平均变化率为：当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率3、导数的概念： 函数f（x）在xx0处时的瞬时变化率是函数yf（x）在xx0处的导数，记作f（x0）或y|xx0，即f（x0）【典例例题分析】典例1：一质点的运动方程是s53t2，则在一段时间1，1+t内相应的平均速度为（）A3t+6 B3t+6 C3t6 D3t6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度位移时间，建立等式关系即可解：，故选D点评：本题考查函数的平均变化率公式：注意平均速度与瞬时速度的区别典例2：一质点运动的方程
29、为s83t2（1）求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题在解答时：（1）首先结合条件求的s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；（2）定义法：即对平均速度为当t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t1时的瞬时速度即s83t2在t1处的导数值，故只需求t1时函数s83t2的导函数值即可获得问题的解答解答：由题意可知：（1）s83t2s83（1+t）2（8312）6t3（t）2，质点在1，1+t这段时间内的平均速度为：（2）定义法：质点在t1时的瞬时速度为求导法：质点在t时刻的瞬时速度vs（t
30、）（83t2）6t，当t1时，v616点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求值得同学们体会和反思【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：瞬时速度实质是平均速度当t0时的极限值瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数yf（x）在xx0处的导数特别提醒：当x0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数自变量的增量xxx0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但x0而函数的增量y
31、可正可负，也可以为0在点xx0处的导数的定义可变形为：f（x0）或f（x0）导函数的特点：导数的定义可变形为：f（x）；可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的周期函数其导函数仍为周期函数；并不是所有函数都有导函数导函数f（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）3导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数C0（C为常数） （xn）nxn1 （nR） （sinx）cosx （cosx）sinx （ex）ex（ax）
32、（ax）*lna（a0且a1）logax）*（logae）（a0且a1）lnx2、和差积商的导数f（x）+g（x）f（x）+g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）+f（x）g（x） 3、复合函数的导数设 yu（t），tv（x），则 y（x）u（t）v（x）uv（x）v（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）asinx+bx3+4（aR，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）（）A0 B2014 C2015 D8解：f（x）acosx+3bx2，f（x）acos（x）+3
33、b（x）2f（x）为偶函数；f（2015）f（2015）0f（2014）+f（2014）asin（2014）+b20143+4+asin（2014）+b（2014）3+48；f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）8故选D题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A（3x2+cosx）6xsinx B（lnx2x）ln2C（2sin2x）2cos2x D（）解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）6xsinx成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）4cos2x2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确故选C
34、【解题方法点拨】1由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数2对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误4利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是
35、减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C
36、（，1）D（，+）解：f（x）2x+4，即f（x）2x40，设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调
37、增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a2，f（x）2lnx+2x3，g（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，【解题方法点拨】若在某区间上有有限个
38、点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件5利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值f（x0），x0是极小值点 2、极值
39、的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f（x0）0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果
40、f（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值 4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）； （2）求方程f（x）0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（
41、1）按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小 （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值（4）若函数f（x）在a，b上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一
42、个极大值点，一般地，当函数f（x）在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点6利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间a，b上的函数f（x）的图象图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值函数f（x）在a，b上的最大值是f（b），最小值是f（x1）一般地，在闭区间a，b上连续的函数f（x）在a，b上必有最大值与最小值说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f
43、（x）不一定有最大值与最小值如函数f（x）在（0，+）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（3）函数f（x）在闭区间a，b上连续，是f（x）在闭区间a，b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在a，b上的最大值与最小值
44、的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在a，b上的最值【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小 （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是
45、单调函数，即在区间上单调的函数没有极值（4）若函数f（x）在a，b上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点7利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包
46、含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来【实例解析】 例：已知函数yxlnx，求这个函数的图象在点x1处的切线方程 解：ky|x1ln1+11又当x1时，y0，所以切点为（1，0）切线方程为y01（x1），即yx1 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/23 10:22:31；用户：；邮箱：841911643；学号：13340827
