1、(时间：45分钟满分：60分)1.如图，已知抛物线C：y22px(p0)和M：(x4)2y21，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y01)作两条直线与M相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)当AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率解：(1)点M到抛物线准线的距离为4，p，即抛物线C的方程为y2x.(2)当AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)，kHEkHF.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，y1y24，kEF.2已知过点A(4，0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(
2、1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y(x4)，即x2y4.联立得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24.由已知4得y24y1.由根与系数的关系可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0.x02k，y0k(x04)2k24k，BC的中垂线为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.3设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点P是椭圆短轴的一
3、个端点，PF1F2的周长为16.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标解：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意，可得解得所以b2a2c2523216.故所求椭圆C的方程为1.(2)法一：过点(3，0)，且斜率为的直线l的方程为y(x3)，将之代入C的方程，得1，即x23x80.因为点(3，0)在椭圆内，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1x23，所以线段AB中点的横坐标为，纵坐标为(3).故所求线段的中点坐标为(，)法二：过点(3，0)且斜率为的直线l的方程为y(x3)，因为(3，0)在椭圆内，所以直线l与椭圆有
4、两个交点，设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点M的坐标为(x0，y0)，则有由，得，即.又y0(x03)所以故所求线段的中点坐标为(，)4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，其上顶点为A.若F1AF2是边长为2的正三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(4，0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记.若在线段MN上取一点R，使得，当直线l运动时，点R在某一定直线上运动，求出该定直线的方程解：(1)因为F1AF2是边长为2的正三角形，所以c1，a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意知，直线MN的斜率必存在，设其方程为yk(x4)，并设M(x1，y1)
5、，N(x2，y2)由，消去y得(34k2)x232k2x64k2120，则144(14k2)0，x1x2，x1x2.由，得4x1(x24)，故.设点R的坐标为(x0，y0)，则由，得x0x1(x2x0)，得x01，故点R在定直线x1上5已知抛物线E：y22px(p0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x2)2y21的两条切线，切点为A，B，|AB|.(1)求抛物线E的方程；(2)由抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标解：(1)由已知得M(，0)，C(2，0)设AB与x轴交于点R，如图，由圆的对称性可知，|AR|.于是|CR|，所
6、以|CM|3，即23，p2.故抛物线E的方程为y24x.(2)如图，设N(s，t)易知P，Q是以NC为直径的圆D与圆C的两交点圆D的方程为(x)2(y)2，即x2y2(s2)xty2s0.又圆C的方程为x2y24x30.得(s2)xty32s0.易知为直线PQ的方程因为直线PQ经过点O，所以32s0，s.又N(s，t)是抛物线上的点，故点N的坐标为(，)或(，)6已知双曲线C：1(a0，b0)经过点P(4，)，且双曲线C的渐近线与圆x2(y3)24相切(1)求双曲线C的方程；(2)设F(c，0)是双曲线C的右焦点，M(x0，y0)是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实
7、轴为直径的圆的位置关系，并说明理由解：(1)因为双曲线C：1经过点P(4，)，所以1.因为双曲线C的渐近线bxay0与圆x2(y3)24相切，所以圆心(0，3)到直线bxay0的距离等于2，即2，整理得5a24b2.联立与，解得所以双曲线C的方程为1.(2)由(1)得，c3，所以双曲线C的右焦点为F(3，0)设双曲线C的左焦点为F(3，0)，因为点M在双曲线C的右支上，所以|MF|MF|4，即4，所以4.因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为r12；以MF为直径的圆的圆心为，半径为r2，所以两圆圆心之间的距离为d .因为d42r1r2.所以以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切
