1、2011年江苏高考东海中学数学解题难点突破与培优提高第I卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A、14题，基础送分题，做到不失一题！解题常用经典再现A1.集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B如果【注意】：空集的补集是全集2、若=，则的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.3、 De Morgan公式:；.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型
2、或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题*1.命题的否定与它的否命题的区别：命题的否定是,否命题是.命题“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.*2.常考模式： 全称命题p：；全称命题p的否定p：.特称命题p：；特称命题p的否定p：.A3.复数运算*1.重要结论：； 2、，；3、性质：T=4；.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；(2)时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；(3)时，幂函数的图像在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴
3、，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率
4、分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频率=.小长方形面积=组距=频率. 所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差
5、大波动差).(1)一组数据样本方差 ；样本标准差= (2)两组数据与,其中,.则,它们的方差为,标准差为若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.样本数据做如此变换：，则，.B、(59，中档题，易丢分，防漏/多解)B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当时，若表示直线的右边，若则表示直线的左边.（2）当时，若表示直线的上方，若则表示直线的下方.2、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1），若，直线在y轴上的截距越大，z越大，若，直线在y轴上的截距越大，z越小.（2）表示过两点的直线的斜率，特别表示过原点和的直线的斜率.（3）表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认
6、为是二元方程的覆盖问题.（4）表示到点的距离.（5）；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
7、角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：，； ，；，；等.（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）利用二倍角公式和二倍角公式的等价变形，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.（3）切割化弦（名的变化） 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化
8、切”. （4）常值变换常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：等.（5）引入辅助角 一般的，期中. 特别的，;，等.（6）整体代换举例： ，可求出整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在中，（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即，；. (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理 面积公式：.其中为三角形内
9、切圆半径，为周长之半 (3)在中，熟记并会证明：*1.成等差数列的充分必要条件是*2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列 *3.三边成等差数列；.*4.三边成等比数列,. (5) .B5.概率的计算公式：古典概型：；几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域，则A的概率定义为B6.最值定理，若积，则当时和有最小值；，若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.已知，若，则有：，若则有：B7.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点
10、拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.逆求法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，型如的函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式求函数的
11、最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判别式法：对于形如（,不同时为）的函数常采用此法【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也
12、可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1.型，可直接用不等式性质；2.型，先化简，再用均值不等式；3.型，通常用判别式法；4.型，可用判别式法或均值不等式法；导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.B8.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) ：则且.(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不
13、等式求y的范围.(3)： ，则且.(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域.(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.凑项（加、减
14、常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.调整分子：例3.求函数的值域；变用公式：基本不等式有几个常用变形： , ，.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；连用公式：例5.已知，求的最小值；对数变换：例6.已知，且，求的最大值；三角变换：例7.已知，且，求的最大值；常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若（为定值，），可设，其中.在上是增函数，在上是减函数；在上是增函数，在上是减函数；.令，其中.由，得，从而在上是减函数.和为定值若（为定值，），则积为定值若（为定值，），则.当时，在上是减函数，在
15、上是增函数；当时，在上是增函数；倒数和为定值（为定值，）C、1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式推广1：当时，得线段的中点公式：推广2：三角形重心坐标公式：ABC的顶点，重心坐标：注意：在ABC中，若0为重心，则，这是充要条件推广3：则是三点共线的充要条件.C 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：正比例函数型：.指数函数型：.对数函数型：.幂函数型：,.三角函数型：,.,.（2）利用函数的性质（
16、如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。C 3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图像关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图像关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.5.函数与的图像关于直线对称.特别地，函数与的图像关于直线对称.C4.几个函数方程的周期(约定)(1)若，或，则的周期； (2)若，则的周期.【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）
17、,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C 9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长方体中：体对角线长为，外接球直径；棱长总和为；全(表)面积为，体积；2.在正三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.3.在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积；体积；对棱间的距离；正四面体内任一点到各面距离之和为定值.CBAAC10.圆锥曲线几何性质
18、0e1 e=1如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.椭圆方程的第一定义：双曲线的第一定义：圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹简言之就是 “（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中，椭圆中、双曲线中.圆锥
19、曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.1.平移变换向量平移法则：2.翻折变换(1)由得到，就是把的图像在轴下方的部分作关于轴对称的图像，即把轴下方的部分翻到轴上方，而原来轴上方的部分不变.(2)由得到，就是把的图像在轴右边的部分作关于轴对称的图像，即把轴右边的部分翻到轴的左边，而原来轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换4.对称变换(1)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；(2
20、)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；(3)函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；(4)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到.(5)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到； .【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数
21、、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数”及函数等）相互转化. (3)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.C 12. 借助图象比较大小C 13.常用的近似计算公式（当充分小时）(1)；.(2)；.(3)；.(4)（为弧度）；（为弧度）；（为弧度）.C 14.大小比较常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 作商（常用于分数指数幂的代数式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；图像法.其中比较法
22、（作差、作商）是最基本的方法.C 15.不定项填空题易误知识点拾遗：(1)平面与空间的“区分”问题1.错误的命题垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两直线平行；过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直2.正确的命题平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面(2)易误提点：是为钝角的必要非充分条件.截距不一定大于零，可为负数，
23、可为零；常常会是等式不成立的原因，模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.C16关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； .D、1314，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽D1.熟知几个重要函数1.(1) 时，为“双钩函数”： 定义域：；值域为； 奇偶性：奇函数（有对称中心）； 单调性：在区间上单调递增；在区间上单调递减. 极
24、值：时取到极大值，时取到极小值. 记住的图像的草图. 不等式性质：时，；时， .(2) 时，在区间上为增函数.【思考】：图像大致如何分布.(3)常用地，当时，的特殊性质略.【探究】：函数的图像变化趋势怎样？的有关性质.2.三次函数图像与性质初步*1.定义：形如的函数叫做三次函数. 定义域为,值域为.*2.解析式：一般式：；零点式：*3.单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.那三次函数的图像及性质，要从那里入手呢？再结合探究工具“导数
25、”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质. 所以，导函数对称轴.【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）（一）若 令，由根与系数关系知：， 两极值点：（1）当，约定，则拐点在轴左边，极值点分布在轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：（2）当，时，拐点在轴左边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；（3）当，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略（4）当，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴两边，且
26、左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略（二）若由知：无极值点，拐点横坐标仍为，所以图像如右图所示.（三）若 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (-，)（，+)的符号 + 0 +的单调性 *4.极值： 函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系 (1)若，则在R上无极值； (2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数的图像与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？（联系函数的极值，进行等价转化）一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；三个交点
27、：极大值大于零，极小值小于零.D2.几个重要图像 1.（） 2.（） D3.函数的零点处理：（1）的零点（不是点而是数）的根与轴的交点的横坐标的交点问题.（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.（3）零点存在定理：单调且端点值异号使.【说明】：1.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且.2.在上连续，且，则在上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.，在上可能无零点也可能有无数个零点.3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对.D7.重要不等式1、和积不等式
28、：(当且仅当时取到“”)【变形】：（当a = b时，） 【注意】： ， (当且仅当时取“=”号)2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”D8.三角函数最值题型及解题捷径；（均值不等式法）；含有或；.二、解答题做题提醒：获得高分不仅需要采取多夺分策略，还须谨记坚持少丢分策略第十五题（三角基础题）基础题你答对了吗？15.1、正弦定理1.知识工具：在ABC中，（是外接圆直径）.【变式】：；。在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角.【注明】：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，
29、注意三角形中其他条件的应用：(1)三角形内角和定理：(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式： (4)三角函数的恒等变形，2.三种题型利用正弦定理公式原型解三角形利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.三角形解的个数的判定：方法一：画图观察baCh已知，其中，为锐角时：时，无解；时，一解（直角）；时，两解（一锐角，一钝角）；时，一解（一锐角）.为直角或钝角时：时，无解；时，一解（锐角）.方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.15.2、余弦定理1.知识工具：等三个；
30、等三个。【注明】：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理.在变形中，注意三角形中其他条件的应用.2.三种题型利用余弦定理公式的原型解三角形.利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式.判断三角形的形状.根据余弦定理，当，中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当，中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)将已知
31、式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解.15.3、正余弦定理实际应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达计算高度；计算距离；计算角度；测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解.3.三角形面积公式（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （R为外接圆半径）；（r为内切圆半径）；.第十六题（立几基础题）推证
32、不漏一个条件16.1、位置关系证明（主要方法）：（1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行abaaabbaa支持定理 ； ； 配图助记（2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行；III.转化为线面平行；IV.转化为线面垂直；V.转化为面面平行.支持定理 ；ababa配图助记（3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；II.转化为线面平行；III.转化为线面垂直.支持定理 ；ababObaabag配图助记（4）线线垂直：思考途径 I.转化为相交垂直；II.转化为线面垂直；II
33、I.转化为线与另一线的射影垂直；IV.转化为线与形成射影的斜线垂直.支持定理 ；所成角为900；(三垂线及逆定理)；aabPAOa配图助记（5）线面垂直：思考途径 I转化为该直线与平面内任一直线垂直；II转化为该直线与平面内相交二直线垂直；III转化为该直线与平面的一条垂线平行；IV转化为该直线垂直于另一个平行平面；V转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 支持定理 ；配图助记albaOablabaaaba（6）面面垂直：思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；II.转化为线面垂直.支持定理 二面角900；配图助记aabbaa第17题（解几综合题）从平几中寻突破到解几中找关系17.1、圆锥曲
34、线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆：； （左“+”右“-”）；椭圆：(2)抛物线：2.弦长公式：；3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：； (4)当点与椭圆短轴顶点重合时最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程5.双曲线中的结论：(1)双曲线（）的渐近线：；(2)共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）； (4)等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为(渐近线互相垂直)，离心率 (5)共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程
35、为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：17.3、圆1、圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,是待定的系数(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数(3)过圆:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数特别地，当时，就是表示：当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；2、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外；点在圆上；点在圆内.3、直线与圆的位置关系直线与圆的
36、位置关系有三种(): ；.4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为半径分别为，；.5、圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆的切线方程若P(,)是圆上的点，则过点P(,)的切线方程为.特别地，若，切线方程为；若P(,)是圆外一点，由P(,)向圆引两条切线，切点分别为A，B则直线AB的方程为
37、.特别地，若，圆，斜率为的圆的切线方程为.(3) 过圆外一点的切线长为.17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交，等于已知过的中点；在中，给出，则是中边的中线；（3）给出，等于已知是的中点；（4）给出，等于已知与的中点三点共线；（5）给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数，等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角；（8）给出，等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；（11）设
38、，.；（12）为内一点，则；（13）在中，给出，则通过的内心；17.5、解题规律盘点1、点(1)交点直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为0时，与二次曲线联立，； 直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， 直线与二次曲线有一个公共点： 二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，=0 二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，=0(2)定点处理思路；抛物线上的动点可设为：或或，其中，以简化计算.2、直线(1)设直线方程分斜率存在、不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：；巧设直线方程
39、回避讨论及运算等问题当直线过定点时，若设成有时会出现下列情况：(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局. (2)过轴上一点的直线一般设为可以避免对斜率是否存在的讨论(3)两解问题：圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径截得平行线的弦长相等（斜率不存在）圆外一点引切线（斜率不存在）3、角(1)余弦定理;(2)到角公式:(3)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式(1)已知曲线()与直线方程联立得：()【注意】：当曲线为双曲线时，
40、要对与0进行比较.由根与系数关系知：【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？二次项系数系数为0的情况讨论了吗？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？ 2.设而不求（代点相减法）处理弦中点与直线斜率问题步骤如下：已知曲线，设点、中点为，作差得；对抛物线有.【细节盘点】*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”
41、、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于的方程还是的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即时，直线与曲线相切，*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须
42、优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).*6.韦达定理在解几中的应用：求弦长； 判定曲线交点的个数； 求弦中点坐标；求曲线的方程. (2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :或【注】：弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率，. 5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化
43、为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；在面积一定的边形中，正边形的周长最小.几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的北欧谐几何性质或位置保持不变等问题.常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距
44、离之和等）、定比（线段比、面积比）、定积（面积、线段积）等.常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.解决定值问题常用的处理思路和方法：（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些
45、量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；（4）综合运用几何、代数、三角知识证题.6、求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法. 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可. 代入法(相关点法或转移法). 定义法：如果能够确定动点
46、的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程. 交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将、均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.7、定义解题椭圆：第一定义：平面上一动点P到平面上两个定点F1、F2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|F1F2|,则P点轨迹为椭圆。双曲线：|PF1|-|PF2|=定值1：双曲线第18题（数列综合题）稳步作答，步步为营18.1、判定数列是基本数列的方法（1）判定数列是否是等差数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法. （2）解题常用判定数列是等差数列有以下三种方法：2(
47、)(为常数)【思考】：那等比数列呢？（1）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（2）解题常用判定数列是等比数列有以下四种方法：(，)(为非零常数)正数列成等比的充要条件是数列（）成等比数列18.2、数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式. 等比数列求和公式.【特别声明】：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.（2）分组求和法 （3）倒序相加法 （4）错位相减法（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；（6）通项转换法若一阶线性递归数列，则总可
48、以将其改写变形成如下形式：()，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；18.3、数列通项求解思路：由非递推关系求通项定义法：根据等差等比数列的等价条件，套用公式.公式法：已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 由递推式求数列通项由递推式，求用迭加法.由递推式，求用迭乘法，还可以用迭代法.（迭乘法）（迭代法）递推式为，可以作如下具体分解，均可用构造法求解(先引入可化简辅助数列，再求目标通项).类型1 (常数)变形为可用解题途径：转化等差、等比数列；逐项选代；消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；（公式法），由确定递推式为与的关系式 (或)，可利用进行求解.双数列型可根据所给两个数列递
49、推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.【说明】：一些特殊数列，如周期数列，不一定能求通项，但由递推关系，可得出周期等有效量，同样也可确定数列中的对应关系；阶差数列，如二阶等差等比数列等；还有些数列，只是起到过渡作用，如数列，通过数列建立联系，这时就不一定可求通项，其实也不一定要求出来.18.4、数列中蕴含的几种数学思想：1、函数的思想a=02、等价转化的思想：（1）将“非等差、等比数列”转化为“等差数列、等比数列”，如：错位相减（2）之间的转化3、分类讨论的思想：（1）由. （2）等比数列的求和公式：，或（3）项数分奇、偶讨论.4、从特殊到一般的思想（“归纳、猜想”）从一般到特殊的
50、思想：时成立，则n=1,2也应该均成立.如：2004江苏高考第20数列题.5、解方程组思想：五个变量“知三求二”6、回归基本量的思想：首项、公差决定等差数列；首项、公比决定等比数列7、递推的思想：如：已知，求 析：，两式相减得：,所以为等比数列 再如：求数列通项时的叠加法、叠乘法；求数列前n和时，总体指导思想：欲求和，先研究通项（错位相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法）.总之，对于数列章节的学习，不光是掌握几个公式，而更要很好地从数学的思想方法.18.5、攻克数列不等式证明问题的若干策略策略一：放缩法数列问题的两大特点是求和与递推，因此要证关于项和或通项的不等式，可先寻找关于通项或相邻
51、两项的不等式，这便是放缩的思想，即先放缩再求和或迭代。1.利用最简单的不等式关系进行放缩2.利用由条件得到的不等关系进行放缩3.利用由基本不等式得到的不等关系进行放缩4.利用由倒数（函数单调性）得到的不等关系进行放缩5.利用由二项式定理得到的不等关系进行放缩策略二：利用数列的单调性1.由定义确定数列的单调性2.构造函数、利用导数确定数列的单调性第19题（实际应用题）人难我不畏难，人易我不大意19.1、解应用题的一般思路可表示如下：实际问题数学化数学问题实际问题结论数学问题结论转化为数学问题回到为实际问题问题解决问题解答19.2、解应用题的一般程序（1）读: 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结
52、论，理顺数量关系，这一关是基础 （2）建: 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关（3）解: 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 （4）答: 将数学结论还原给实际问题的结果 19.3、中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题: 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 （2）预测问题: 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 （3）最（极）值问题: 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，
53、转化为求函数的最值 （4）等量关系问题: 建立“方程模型”解决（5）测量问题: 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 第二十题（函数综合题）不怕繁杂的代数推理题 (1)换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；(2)最值法，如：，则恒成立.，则恒成立.(3)构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；具体运用：是构造斜率、点到直线距离、两点间距离、直线与圆的位置关系、辅助圆等.20.2、三个“二次”1 二次函数的基本性质二次函数的表示法：y=ax2+bx+c; y
54、=a(xx1)(xx2); y=a(xx0)2+n2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0
55、时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立20.3、闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若，则；若，则，.(2)当a0时，若，则，若，则，.20.4、一元二次方程的实根分布若，则方程在区间内至少有一个实根.设，则（1）方程在区间内有根的充要条件:或；（2）方程在区间内有根的充要条件:或，或，或；（3）方程在区间内有根的充要条件: ，或.20.5、定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间的子区间（形如，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.(2
56、)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.(3)恒成立的充要条件是，或.20.6、恒成立问题的基本类型及处理思路1、利用一次函数的性质类型1：对于一次函数有：()，或()；亦可合并定成；2、利用一元二次函数的判别式类型2：设（1）上恒成立；（2）上恒成立.类型3：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立3、利用函数的最值（或值域）类型4：.类型5：对于任意的恒成立，或在上的图像始终在的上方.（通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可.）20.7、定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据(1)在给定
57、区间的子区间（形如，不同）上含参数的不等式(为参数)恒成立.充要条件：.(2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立.充要条件：.(3)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解.充要条件：.(4)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解.充要条件：.对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.（若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.【知识疏漏】： 1.对数的换底公式 : (,且,且, ). 对数恒等式：(,且, ).【推论】：(,且, ).2对数的四则运算法则:若a0，a1，M0，N0，则(1); (2) ;(3); (4) 。3.设函数,记.若的定义域为,则且;若的值域为,则，且。6.等差数列的通项公式：；广义通项：.其前n项和公式为：.7.等比数列的通项公式：；广义通项：.其前n项的和公式为或.13. 三角函数的周期公式函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0)的周期；函数，(A,为常数，且A0)的周期版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
