1、1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1函数的平均变化率(1)函数yf (x)从x1到x2的平均变化率为，其中xx2x1是相对于x1的一个“
2、增量”，yf (x2)f (x1)f (x1x)f (x1)是相对于f (x1)的一个“增量”(2)平均变化率的几何意义设A(x1，f (x1)，B(x2，f (x2)是曲线yf (x)上任意不同的两点，函数yf (x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图所示思考：x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为零平均变化率可正、可负、可为零2瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)函数f (x)在xx0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 .3导数的概念函数yf (x)在xx0处的导数就
3、是函数yf (x)在xx0处的瞬时变化率，记作f (x0)或y|，即f (x0) .1函数yf (x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()Af (x0x)Bf (x0)xCf (x0)xDf (x0x)f (x0)Dyf (x0x)f (x0)，故选D.2若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2,2.1内的平均速度是()A4B4.1C0.41D1.1B4.1，故选B.3函数f (x)x2在x1处的瞬时变化率是_2f (x)x2.在x1处的瞬时变化率是 (2x)2.4函数f (x)2在x6处的导数等于_0f (6) 0.求函数的平均变化率【例1】已知函数f (x)3x25，求
4、f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率解(1)因为f (x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f (x0x)f (x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f (x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.1求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1；第二步，求函数值的增量yf (x2)f (x1)；第三步，求平均变化率.2求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式跟进训练1如图所示，函数yf (x)在A，B两点间的平均变化率等于()A1B
5、1C2D2B平均变化率为1.故选B.2已知函数yf (x)2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1x,2y)，则的值为()A4B4xC42x2D42xD42x.故选D.求瞬时速度探究问题1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，如何计算物体在1,1t这段时间内的平均速度？提示s5(1t)2510t5(t)2，105t.2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度思路探究：解3t，
6、 (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.1(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时
7、速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度求函数在某一点处的导数【例3】(1)设函数yf (x)在xx0处可导，且 1，则f (x0)等于()A1B1CD(2)求函数f (x)x在x1处的导数思路探究：(1)类比f (x0) 求解(2)(1)C 3f (x0)1，f (x0)，故选C.(2)解y(1x)x1x，1，f (1) 2.求函数yf (x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限跟进训练3已知f (1)2，则 _.4f (1)2， 2 2f (1)2(2)4.4求函数y3x2在x1处的导数解yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2，63x，f (1)
8、 (63x)6.1极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限2函数yf (x)在xx0处的导数f (x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况即：f (x0) ，且yf (x)在x0处的导数是一个局部概念特别提醒：取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.函数在x0处的导数f (x0)只与x0有关，与x无关导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛1一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.2B2.2物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若v 9.8 m/s，那么下列说法
9、中正确的是()A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率C结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确3设函数f (x)ax3，若f (1)3，则a等于()A2 B2 C3 D3D因为f (1) a.因为f (1)3，所以a3.4设f (x)在x0处可导，若 A，则f (x0)_. 3 3f (x0)A.故f (x0)A.5在曲线yf (x)x23上取一点P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求：(1)；(2)f (1)解(1)2x.(2)f (1) (2x)2.
