1、巩固双基,提升能力一、选择题1若函数f(x)x3x21，则f(x)()A最大值为1，最小值为B最大值为1，无最小值C最小值为，无最大值D既无最大值，又无最小值解析：f(x)3x23x，易知f(x)在(，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，)上递增，且当x时，f(x)，当x时，f(x)，因此f(x)无最大值与最小值答案：D2函数f(x)exsinx在区间上的值域为()A0，eB(0，e)C0，e) D(0，e解析：f(x)ex(sinxcosx)x，f(x)0.f(x)在上为增函数，f(x)minf(0)0，f(x)maxfe.答案：A3若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为
2、()A. B.C.1 D.1解析：f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，1，不合题意f(x)maxf(1)，a1.答案：D4已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B.C. D1解析：由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0.f(x)maxflna11.a1.答案：D5(2013荆州调研)设动直线xm与函数f(x)x3、g(x)lnx的图像分别交于点M、N，则|MN|的最小
3、值为()A.(1ln3) B.ln3C1ln3 Dln31解析：由题意知|MN|x3lnx|，设h(x)x3lnx，h(x)3x2，令h(x)0，得x，易知当x时，h(x)取得最小值，h(x)minln0，故|MN|min(1ln3)答案：A6(2012课标全国)设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln2 B.(1ln2)C1ln2 D.(1ln2)解析：显然yex和yln(2x)的图像关于直线yx对称，令yex1xln2.所以yex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，到直线yx的距离d.所以|PQ|min2(1ln2)，所以选B.答案：B二、填空
4、题7函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是_解析：f(x)3x22mxx(3x2m)令f(x)0，得x0或x.x(0,2)，02，0m3.答案：(0,3)8用一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围墙的最大面积是_(围墙厚度不计)解析：设矩形的宽为x，则矩形的长为2004x.则面积Sx(2004x)4x2200x，S8x200，令S0，得x25，故当x25时，S取得最大值为2 500(m2)答案：2 500 m29某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若
5、该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，p30或p130(舍去)，则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值该商品零售价定为每件30元，
6、所获利润最大为23 000元答案：3023 000三、解答题10(2012北京)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解析：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.
7、令h(x)0，得x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的情况如下：xh(x)00h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当1，且1，即2a6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h1.当1时，即a6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，又因hh(1)1aa2(a2)20.所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.11设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(
8、2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解析：由f(x)x2x2a22a，当x时，f(x)的最大值为f2a；令2a0，得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a.得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).12某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的
9、中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20，当r30时，r .令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)(1)当0m2，即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点(2)当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r .
