1、北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2C 3B 4B 5B 6C 7D 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 1354 14 注：第11，12题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解： 4分 ， 6分 所以函数的最小正周期. 7分 由， 得， 所以函数的单调递增区间为，. 9分 （注：或者写成单调递增区间为，. ） （）解：由题意，得， 因为
2、函数为奇函数，且， 所以，即， 11分 所以， 解得，验证知其符合题意. 又因为， 所以的最小值为. 13分16（本小题满分13分）（）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件， 1分 由题意，得， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为. 4分（）解：由题意，的所有可能取值为， 5分 且，7分 所以的分布列为：13151618 8分 所以. 10分（）解：的可能取值为，. 13分17（本小题满分14分）（）证明：在平行四边形中，因为， 所以. 由分别为的中点，得， 所以. 1分 因为侧面底面，且， 所以底面. 2分又因为底面，所以.
3、3分 又因为，平面，平面， 所以平面. 4分（）证明：因为为的中点，分别为的中点，FC A DP MB Ezyx 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 5分 同理，得平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 7分又因为平面， 所以平面. 9分（）解：因为底面，所以两两垂直，故以 分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 10分 设，则， 所以， 易得平面的法向量. 11分 设平面的法向量为， 由，得 令, 得. 12分因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即， 13分 所以 ， 解得，或（舍）. 14分18.（本小题满分13分）（）解：求导，得， 2
4、分 由题意，得切线l的斜率，即，解得 3分 又切点坐标为，所以切线l的方程为 4分（）解：设函数， 5分 “曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一 个零点” 求导，得. 6分 当时， 由，得，所以在单调递增 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意 8分 当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示：0 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，故有且仅有一个零点，符合题意 10分 当时， 令，解得 当变化时，与的变化情况如下表所示：0所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时， 11分 因为，且在上单调递增， 所以. 又因为存在 ，所以存在使得，所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上
5、，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或. 13分19（本小题满分14分）（）解：由题意，得， 2分 又因为点在椭圆上， 所以， 3分 解得， 所以椭圆C的方程为. 5分 （）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. 6分 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时，设的方程为. 7分 由方程组 得， 8分 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点， 所以，即. 9分 由方程组 得， 10分 则. 设，则， 11分 设直线， 的斜率分别为， 所以 ， 12分 将代入上式，得. 要使得为定值，则，即，验证符合题意. 所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值. 13分 当直线
6、的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时，圆与的交点也满足.综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值. 14分 20（本小题满分13分）（）解：； 2分（）解：考察排列 与排列， 因为数对与中必有一个为逆序对（其中）， 且排列D中数对共有个， 3分 所以. 5分 所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为. 6分 而对于数字1，2，n的任意一个排列A：，都可以构造排列A1：，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为.所以所有的算术平均值为. 7分（）证明：当，即相邻时， 不妨设，则排列为， 此时排列与排列A：相比，仅多了一个逆序对，所以，所以为奇数. 10分 当，即不相邻时， 假设之间有m个数字，记排列A：， 先将向右移动一个位置，得到排列A1：， 由，知与的奇偶性不同， 再将向右移动一个位置，得到排列A2：， 由，知与的奇偶性不同， 以此类推，共向右移动m次，得到排列Am：， 再将向左移动一个位置，得到排列Am+1：， 以此类推，共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：， 即为排列， 由，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A经过次的前后两数交换位置，可以得到排列， 所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同， 所以为奇数. 综上，得为奇数. 13分
