1、4平面向量的坐标41平面向量的坐标表示42平面向量线性运算的坐标表示43向量平行的坐标表示1平面向量的坐标表示(1)把一个向量分解为互相垂直的向量，叫作把向量正交分解(2)在平面直角坐标系中，如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得x iy j，因此ax iy j把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)(3)几个特殊向量的坐标：i(1，0)，j(0，1)，0(0，0)(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2且y1y2.2平面向量线性运算的坐标
2、表示(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差(2)若a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积(3)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标(4)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB中点M的坐标为.3向量平行的坐标表示(1)设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)若ab，则存在实数，使ab，而用坐标表示为x1y2x2y1
3、0若y10且y20(即向量b不与坐标轴平行)，则上式可变形为(2)文字语言描述向量平行的坐标表示定理1若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例定理2若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(3)向量(2，3)与向量(4，6)反向()解析：(1)错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样(2)错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关(3)正确因为(4，6)2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(4，6)反向答案：(1)(2)
4、(3)2已知A(3，1)，B(2，1)，则的坐标是()A(2，1)B(2，1)C(1，2) D(1，2)解析：选C.(3，1)(2，1)(32，11)(1，2)3已知向量a(1，m)，b(m，2m3)，且ab，则m等于()A1 B2C1或3 D0或2解析：选C.由已知得(2m3)m20，所以m1或m3.4已知A(1，2)，B(4，5)，若2，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，则(x1，y2)，(4x，5y)，又2，所以(x1，y2)2(4x，5y)，即所以所以点P的坐标为(3，4)答案：(3，4)1向量正交分解的实质向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，也是一种特殊的情形，即基底垂
5、直的情况，单位正交基底坐标i(1，0)，j(0，1)，零向量的坐标0(0，0)2向量的坐标与点的坐标的区别与联系(1)区别意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关表示形式：如点A(x，y)，向量a(x，y)当向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标发生了变化(2)联系向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系；把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量的坐标3向量的三种运算体系(1)图形表示下的
6、几何运算：此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用(2)字母表示下的几何运算：此运算体系下一方面要注意运算律的应用，另一方面要注意，等运算法则的应用(3)坐标表示下的代数运算：此运算体系下要牢记公式，且细心运算若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出向量的坐标，再进行坐标运算4对向量平行的三种理解(1)ab(b0)ab.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系(2)aba1b2a2b10，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)这是代数运算，适用于向量平行的任何情况，包含零向量的情况(3)ab，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)且b10，b20，即两向量的对应坐标成比例
7、通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标【解】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点坐标A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，所以C(1，)，D，所以(2，0)，(1，)，(12，0)(1，)，.(1)向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，常常结合图形，利用三角函数的定义进行计算 1.(1)已知O为坐标原点，点A在
8、第一象限，|4，xOA60，则向量的坐标为_(2)已知O(0，0)和A(6，3)两点，点P在线段OA上，且，若点P是线段OB的中点，则点B的坐标为_解析：(1)设点A(x，y)，则x|cos 604cos 602，y|sin 604sin 606，即A(2，6)所以(2，6)(2)如图所示，则(6，3)，因为，所以，得(2，1)，2(4，2)所以点B的坐标为(4，2)答案：(1)(2，6)(2)(4，2)平面向量线性运算的坐标表示(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7，4)C(1，4) D(1，4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1，2)，(3，
9、5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标【解】(1)选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：(3，2)(0，1)(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)故选A.(2)ab(1，2)(3，5)(2，3)，ab(1，2)(3，5)(4，7)，3a3(1，2)(3，6)，2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(7，11)平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性
10、坐标运算可类比数的运算进行 2.(1)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_(2)已知A(2，4)，B(1，3)，C(3，4)，若23，求点M的坐标解：(1)因为 manb(2mn，m2n)(9，8)，所以所以所以mn253.故填3.(2)由A(2，4)，B(1，3)，C(3，4)，得(23，44)(1，8)，(13，34)(4，1)，所以232(1，8)3(4，1)(2，16)(12，3)(14，19)设点M的坐标为(x，y)，则(x3，y4)由向量相等坐标相同可得解得所以点M的坐标为(11，15)向量共线的坐标运算已知a(1，2)，b(3，2)
11、，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解】法一：kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)即(k3，2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向法二：由题知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(3，2)(a3b)所以当k时，kab与a3b平行，并且反向在本例中已知条件不变，若改为“当k为何值时，akb与3ab平
12、行？”，又如何求k的值？解：因为a(1，2)，b(3，2)，所以akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)，3ab(3，6)(3，2)(6，4)又因为(akb)(3ab)，所以(13k)4(22k)60.解得k.两平面向量共线的条件有以下两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(a0)的条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba(为实数) 3.(1)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)若D(m，2m)，且与共线，求非零实数m的值解：(1)由题意得2ab(4，2)，
13、因为c(2ab)，c(1，)，所以42，得.故填.(2)因为A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，D(m，2m)，所以(3，5)，(m2，2m1)，又因为与共线，即，所以3(2m1)5(m2)，解得m7，所以非零实数m的值为7.规范解答向量共线的应用(本题满分12分)在AOB中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以(0，5)，(4，3)因为(xC，yC)，所以点C.同理点D.(2分)设点M的坐标为(x，y)，则(x，y5)，而，因为A，M，D三点共线，所以与共线所
14、以x2(y5)0，即7x4y20.(6分)而，因为C，M，B三点共线，所以与共线所以x40，即7x16y20.(10分)解得所以点M的坐标为.(12分) (1)在处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因解不出造成失分在处正确地运用了AD与BC交于点M的条件，否则无法继续求解造成失分在处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成(2)解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；在求点或向量
15、的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证1已知向量a(1，2)，b(3，1)，则ba()A(2，1)B(2，1)C(2，0) D(4，3)解析：选B.ba(3，1)(1，2)(2，1)，故选B.2下列向量中，与向量c(2，3)不共线的一个向量p()A(3，2) B.C. D.解析：选A.由平面向量共线的坐标表示，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10可知，只有选项A与已知向量不共线3已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为_解析：设O为坐标原点，则(1，5)，3a(6，9)，故(5，4)，故
16、点B的坐标为(5，4)答案：(5，4)A基础达标设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则2的坐标是()A(1，2)B(7，6)C(5，0) D(11，8)解析：选D.因为(4，2)，(3，4)，所以2(8，4)(3，4)(11，8)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C(8，1) D(8，1)解析：选A.(5，1)(3，2)(8，1)，所以(8，1).3已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3，2) D(1，3)解析：选A.设点D(m
17、，n)，则由题意得(4，3)2(m，n2)(2m，2n4)，故解得即点D，故选A.4已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2 B0C1 D2解析：选D.ab(1，1)(2，x)(3，x1)，4b2a4(2，x)2(1，1)(6，4x2)，因为ab与4b2a平行，所以3(4x2)6(x1)0.即12x66x60，解得x2.5设向量a(1，3)，b(2，4)，若表示向量4a，3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A(1，1) B(1，1)C(4，6) D(4，6)解析：选D.由题知4a(4，12)，3b2a3(2，4)2(1，3)(8，1
18、8)，4a(3b2a)c，所以(4，12)(8，18)c，所以c(4，6)若向量a(x，1)，b(4，x)，则当x_时，a与b共线且方向相同解析：因为a(x，1)，b(4，x)，若ab，则xx140，即x24，所以x2.当x2时，a与b方向相反仅当x2时，a与b共线且方向相同答案：2已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若(R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则_解析：因为，所以(5，4)(5，7)(55，47)，由5547，得.答案：在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则_解析：因为Q是AC的中点，所以.所以22(1，5)(4，3)(2，
19、7)又因为2，所以33(2，7)(6，21)答案：(6，21)9.如图，已知点A(4，0)、B(4，4)、C(2，6)，求AC，OB的交点P的坐标解：法一：设(4，4)，则(44，4)，(2，6)因为A、P、C三点共线，所以6(44)240，解得.所以(3，3)，即P点坐标为(3，3)法二：设P(x，y)，(x，y)，(4，4)，因为O、P、B三点共线，所以4x4y0.又因为(x4，y)，(2，6)，且A、P、C三点共线，所以6(x4)(2)y0，即3xy12.由，得x3，y3，所以P点坐标为(3，3)已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，求证：.证明：设E，F两点
20、的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意知，(2，2)，(2，3)，(4，1)，(x11，y1)，(x23，y21)又，所以(x11，y1)，(x23，y21).所以(x1，y1)，(x2，y2).所以(x2，y2)(x1，y1).因为4(1)0，所以.B能力提升11若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则向量a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0) B(0，2)C(2，0) D(0，2)解析：选D.由题意，得a2(1，1)2(2，1)(2，4)；设axmy
21、n，即(2，4)x(1，1)y(1，2)(xy，x2y)，则解得故选D.12在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为_解析：法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以，设D(x，y)，则(6，8)(2，0)(8，6)(x，y)，所以x0，y2，即D(0，2)法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以，即，所以(2，0)(8，6)(6，8)(0，2)即D点的坐标为(0，2)答案：(0，2)13已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直线P1P2上，且|，求P点坐标解：当P点在线段P1P2上时，如图则
22、有，设P点坐标为(x，y)，所以(x2，y1)(1x，3y)，所以解得故P点坐标为.当P点在线段P2P1的延长线上时，如图则有，设P点坐标为(x，y)，所以(x2，y1)(1x，3y)，所以解得故P点坐标为(8，9)综上可得P点坐标为或(8，9)14(选做题)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)(1)若0，求的坐标；(2)若mn(m，nR)，且点P在函数yx1的图像上，试求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)所以解得所以点P的坐标为(2，2)，故(2，2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)所以(2，3)(1，1)(1，2)，(3，2)(1，1)(2，1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，所以两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图像上，所以y0x01，所以mn1.
