1、2.2向量的减法,向量的减法1.判断正误.（正确的打“”，错误的打“”）（1）两个相等向量之差等于0.（）（2）两个相反向量之差等于0.（）（3）两个向量的差仍是一个向量.（）（4）向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.（）答案：（1）（2）（3）（4）2.下列等式中，正确的个数是（）abba；abba；0aa；（a）a；a（a）0.A.1B.2C.3 D.4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：abba，正确；由向量的减法及其几何意义，得ab（ba），即错误；0aa，正确；根据相反向量的定义及性质得（a）a，正确；而a（a）00，错误.3.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）A.
2、0B.C.D.0答案：C4.化简：.解析： （）.答案：1.相反向量满足的两个条件（1）两个向量的方向相反.（2）两个向量的长度相等.2.相反向量的意义（1）在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法.（2）为向量的“移项”提供依据.利用（a）a0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”.3.对向量减法的三点说明（1）减法的几何意义ab的几何意义是：当向量a，b的起点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（2）与向量加法的关系aba（b），减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（3）向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减
3、向量的终点.向量的减法运算化简下列各式：（1）（）（）；（2）；（3）（）（）.【解】（1）法一：原式（）（）.法二：原式（）0.（2）法一：原式.法二：原式（）.（3）法一：原式（）（）0.法二：（）（）（）0.（1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式首尾相接且相加；起点相同且相减.做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现.同时注意向量加法、减法法则的逆向运用.1.（1）在平行四边形ABCD中，设a，b，c，d，则下列等式中不正确的是（）A.abcB.abdC.bad D.cab（2）化简下列各式：；（）（）（）.解：（1）选B.根据向量加法的平行四边形法则知，即abc
4、，bad.cab，故选B.（2）0.（）（）（）（）（）（）.已知向量作差向量如图，已知向量a、b、c不共线，求作向量abc.【解】法一：如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc.过点A作AD綊BC，连接OD，则bc，所以abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接CB，则abc.法三：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接，则abc.求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算.平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”. 2.（1）如图，已
5、知向量a，b，c，求作向量abc.（2）如图所示，O为ABC内一点，a，b，c，求作向量bca.解：（1）作向量a，b，则向量ab，再作向量c，则向量abc.（2）以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，bca.用已知向量表示其他向量如图，解答下列各题：（1）用a，d，e表示；（2）用b，c表示；（3）用a，b，e表示；（4）用d，c表示.解析：由题意知，a，b，c，d，e，则（1）ade.（2）bc.（3）abe.（4）（）cd. 用已知向量表示其他向量的三个关注点（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道. （2
6、）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题.（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.例如四边形ABCD中，0.3.如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，及.解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，ca，cb，所以bac.易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A.0B.0C.0D.0解析因为D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，所以，所以0，故A成立.0，故B不成立，0，故C不成立.0，故D不成立.答案A（
7、1）解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误.（2）解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据.其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减.1.若a，b，则等于（）A.0B.abC.ba D.ab解析：选D.ab.故选D.2.下列四式中不能化简为的是（）A.（）B.（）（）C.D.解析：选
8、D.对于A，有；对于B，有（）（）；对于C，有（）；只有D无法化简为.3.若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|，|ab|.解析：若a，b为相反向量，则ab0，所以|ab|0，又ab，所以|a|b|1，因为a与b共线，所以|ab|2.答案：024.如图，在ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则.解析：，因为0，所以0.答案：0, A基础达标1.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A.B.C.D.解析：选B.根据向量的减法的定义可得.2.下列式子不正确的是（）A.a0aB.ab（ba）C.0D.解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确；因
9、为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确.3.在ABC中，D是BC边上的一点，则等于（）A.B.C. D.解析：选C.在ABC中，D是BC边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得.4.如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则（）A.abc B.b（ac）C.abc D.bac解析：选A.abc.5.若|8，|5，则|的取值范围是（）A.3，8 B.（3，8）C.3，13 D.（3，13）解析：选C.当与不共线时，有（如图所示），由三角形三边的不等关系可知85|85，即3|13，当与共线反向时，|13；当与共线同向时，|3，所以3|13.6.
10、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则.解析：（）（）.答案：7.化简：（1）（）（）.（2）（）（）.解析：（1）（）（）（）.（2）（）（）（）.答案：（1）（2）8.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|4，|，则|AM|.解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，因为|，所以|，又|4，M是线段BC的中点，所以|2.答案：29.如图，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：（1）；（2）；（3）.解：（1）ca.（2）ad.（3）0.10.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列
11、向量，并分别求出其长度.（1）abc；（2）abc.解：（1）由已知得ab，又c，所以延长AC到E，使|.则abc，且|2.所以|abc|2.（2）作，连接CF.则，而aab，所以abc且|2.所以|abc|2.B能力提升11.平面内有四边形ABCD和点O，若，则四边形ABCD的形状是（）A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.菱形解析：选B.因为，所以，即，又A，B，C，D四点不共线，所以|，且BACD，故四边形ABCD为平行四边形.12.如图，在正六边形ABCDEF中，与相等的向量有.；.解析：因为四边形ACDF是平行四边形，所以，因为四边形ABDE是平行四边形，所以，综上知与相等的向量是.
12、答案：13.若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab所在直线的夹角.解：设a，b，则ab，因为|a|b|ab|，所以|，所以OAB是等边三角形，所以BOA60.因为ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA.所以a与ab所在直线的夹角为30.14.（选做题）已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，M是斜边AB的中点，a，b.求证：（1）|ab|a|；（2）|a（ab）|b|.证明：因为ABC是等腰直角三角形，ACB90，所以CACB.又M是斜边AB的中点，所以CMAMBM.（1）因为，又|，所以|ab|a|.（2）因为M是斜边AB的中点，所以，所以a（ab）（），因为|，所以|a（ab）|b|.
