1、山东省潍坊市潍坊中学2019-2020学年度高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.若，则A. 1B. -1C. iD. -i【答案】C【解析】试题分析：，故选C【考点】复数的运算、共轭复数【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解2.已知函数在处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C. 2D. 1【答案】B【解析】，函数在处有极值为10，解得经检验知，
2、符合题意，选B点睛：由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断同样在已知函数的极值点求参数的值时，根据求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍3.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X01P 则q等于（ ）A 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由离散型随机变量分布列的性质，列式求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知，解得：.故选：D【点睛】本题考查离散型随机分布列的性质，属于基础题型.4.甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=
3、“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；所以.故选：A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.5.如表提供的是两
4、个具有线性相关的数据，现求得回归方程为，则等于（ ）345625445A. 45B. 35C. 315D. 3【答案】D【解析】【分析】回归直线过样本中心点，由表格求出，代入回归方程即得.【详解】因为回归直线过样本中心点，回归方程为，由表格可得， 代入回归方程可得.故选：.【点睛】本题考查线性回归，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. 15D. 20【答案】D【解析】分析】观察所求系数的和，可知原式两边求导，再赋值求解.【详解】原式两边求导数，得 当时，.故选：D【点睛】本题考查二项式定理系数和，导数计算，重点考查转化的思想，属于中档题型.7.有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高
5、与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）A. 264B. 72C. 266D. 274【答案】A【解析】先安排 位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共有 种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设A、B、C同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D同学选择“握力”测试，安排A、B、
6、C同学分别交叉测试，有 种；若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的 种，有 种方式，安排A、B、C同学进行测试有 种；根据计数原理共有安排方式的种数为 故选A.8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,整理得： ，令 ，且 ，则 ，求导： ，解得 ，则 在 上单增，在 上单减，而时， ；如图由题意可知有一个根内，另一个根 或或，当时，方程无意义；当，不满足题意；则；由二次函数的性质可知 ，即 ，解得 ，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项
7、中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（ ）A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B. 设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位C. 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大【答案】BC【解析】【分析】根据回归方程的特征，相关系数的概念及的意义，逐一分析四个答案的正误，可得答案.【详解】对于A：方差反映一组数据的波动情况，将一组数据中每一个数据都加上或减去同一个常
8、数后，波动情况不变，方差不变，故A正确；对于B：线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，故B错误；对于C：相关系数越接近于0，相关性越弱，关系数越接近于1，相关性越强，故C错误；对于D：的值越大，x与y有关系的可信度越大，两个变量间有关联的把握就越大，故D正确.故选：BC.【点睛】本题考查回归方程的意义，相关系数等知识点的应用，属基础题.10.设随机变量X服从正态分布，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等.若，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据正态分布对称性以及区间概率关系可得，再根据正态分布对称性求对应区间概率，最后对照选项
9、作选择.【详解】因为正态分布关于对称，又X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，所以，A正确；因为正态分布关于对称，所以，C正确；，不确定，所以B,D错误；故选：AC【点睛】本题考查正态分布对称性以及指定区间概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11.函数，下列对函数的性质描述正确的是（ ）A. 函数的图象关于点对称B. 若，则函数f（x）有极值点C. 若，函数在区间单调递减D. 若函数有且只有3个零点，则a的取值范围是【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性即可判断选项A是否正确；对函数求导，分别就和进行讨论，即可判断选项B、C是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数的
10、极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a的取值范围，由此即可判断选项D是否正确【详解】对于选项A，因为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；对于选项B，由，当时，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故选项B错误；对于选项C，当时，由，解得 又时，所以函数在区间单调递增，故选项C错误；对于选项D，由， 当时，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得 又时，时，时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为， 函数的极小值和极大值 函数有三个不同的零点， ， 解得，故选项D错误故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及导数在函数极值、单
11、调性和零点中的应用，属于中等题.12.若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求函数的导数，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有2个不同的实数根，则设函数，根据导数判断函数的范围，求得的取值范围.【详解】，若函数具有“凹凸趋向性”时，则在有2个不同的实数根，令，令，解得：，令，解得：，在上递减，在递增，故的最小值是 当越趋近于0时，也越趋近于0，当趋近于正无穷大时，也趋近于正无穷大，所以的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了函数的
12、导数与函数单调性，最值的简单应用，重点考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于基础题型，本题的关键是读题题意.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数f（x）x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有解，可得有解，因为，所以，当且仅当“时等号成立，所以实数a的取值范围是考点：导数的应用14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】1080【解析】 【考点】计数原理、排列、组合【名师
13、点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.15.在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，有共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.16.定义在上的函数
14、满足，则不等式的解集为_【答案】【解析】【详解】设,由，得.故函数在上单调递增，又，故的解集为，即的解集为.点睛：由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中只需构造函数，求导得到单调性，进而将不等式转化为求解即可.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.17.已知为虚数单位.若是实数.（1）求实数的值；（2）求的值.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）求出，再根据复数的分类求出值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算【详解】（1），由题意知为实数，解得.（2）当时， ， 则.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭
15、复数的概念，考查复数的分类，属于基础题18.在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）； （2），； (3).【解析】【分析】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果(2)由通项公式分别计算当时的有理项(3)设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，.（3）设展开式中第项的系数最大，则 ，故系数最大项为.【点睛】本题考查了二项式定理的展
16、开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）经过点（-1，-2）作函数图像的切线，求该切线的方程.【答案】（1）时，函数单调递减，时，函数单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数单调区间.（2）设切点为，则，解得答案.【详解】（1），故，取，则，故时，函数单调递减；时，函数单调递增.（2）设切点为，则，解得，故切线方程为，即.【点睛】本题考查了函数的单调区间，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学学习兴趣，雅礼中
17、学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求
18、的分布列及数学期望.附：，其中.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【答案】(1)能；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得的观测值.结合所给的参考数据即可判断.（2）设5人中男生有表人,女生人,则.根据题意可知分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值.【详解】（1）根据所给条件,制作列联表如下：男生女生总计喜欢阅读古典文学6436100不喜欢阅读古典文学5644100总计12080200所以的观测值,因为的观测值,由所给临界值表可知,能够在犯错误的概率不
19、超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表人,女生代表人,则,根据已知条件可得；,所以的分布列是：12345所以.【点睛】本题考查了独立性检验方法的应用,离散型随机变量及其分布列的求法,古典概型概率的应用,数学期望的求法,属于中档题.21.随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产运输销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.（1）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加
20、量（百斤）与使用堆沤肥料（千克）之间对应数据如下表使用堆沤肥料（千克）24568产量的增加量（百斤）34445依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量是多少百斤?（2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的
21、前8小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注:，且)；前8小时内的销售量（单位:份）15161718192021频数10x16161513y若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求的取值范围.附：回归直线方程为，其中.【答案】（）,百斤；（）.【解析】【分析】（）根据公式计算可得；（）求出概率可得分布列可数学期望【详解】（）结合公式得，所以关于的线性回归方程为：，当时，百斤，所以如果每个有机蔬菜大概使用肥料千克，估计每个有机蔬菜大概产量的增加量是百斤（）若该超市一天购进份这种有机
22、蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为 的数学期望，若该超市一天购进份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为： 的数学期望，又购进份比购进份的利润的期望值大，故，求得，故求得的取值范围是，【点睛】本题考查了线性回归分析，以及离散型随机变量的期望，属于中档题求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意利用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散
23、型随机变量的数学期望的定义求期望的值，如果能够断定随机变量服从某常见的典型分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.22.已知函数（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，函数在处取得极小值，证明：.【答案】（1），（2）见解析【解析】分析】（1）要使函数在区间上单调递增，只要其导函数大于等于零在区间上恒成立即可，然后分离参数构造函数进行求解（2）由函数在处取得极小值可求出和的取值范围， 所以要证，只需证明成立即可，然后构造函数利用导数即证明.【详解】解：（1）因为函数在区间上单调递增，所以0在上恒成立，即0，因为，所以在上恒成立，令，则，所以在上递减，所以所以当0时，在区间上单调递增，所以a的取值范围，（2）因为函数在处取得极小值，所以，即，得，所以的定义域为，因为 ，所以，设的两个根为，解得，由，得，所以当时，； 当时， 又因为在处取得极小值，所以，要证，只需证明成立即可，令，则，所以在上为减函数，所以，所以【点睛】此题考查了利用导数证明不等式，函数的极值，函数的单调性，综合性强，考查了数学转化思想和计算能力，属于较难题.
