1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。27抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程必备知识自主学习导思1.什么叫做抛物线？2抛物线的标准方程有哪些？1.抛物线的定义设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线定义中为什么要求直线l不经过点F?提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线2.抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有
2、以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0).现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标准线方程xxyyp的几何意义焦点到准线的距离二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？提示：不完全相同当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)抛物线的方程都是二次函数()(2)准线方程为y4的抛物线的标准方程是x216y.()(3)抛物线的开口
3、方向由一次项确定()提示：(1).当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象(2).由题意可设抛物线方程为x22py(p0)，因为抛物线的准线方程为y4，所以p8，所以该抛物线的标准方程为x216y.(3).一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确2已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是()A0 B C1 D2【解析】选C.根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y1，根据抛物线定义，得yM12，解得yM1.3已知定点A，F为抛物线y26x
4、的焦点，P为抛物线上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B4.5 C3.5 D不能确定【解析】选C.如图所示，过点P作PM准线l，垂足为M，则当且仅当A，P，M三点共线时，|PF|PA|取得最小值23.5.关键能力合作学习类型一求抛物线的标准方程(数学运算)【典例】1.顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，1)的抛物线的标准方程是()Ay22x By22x Cx22y Dx22y2(多选题)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为()Ay2x By22x Cy24x D. y216x3求焦点在直线x2y40上
5、的抛物线的标准方程【解析】1.选D.因为抛物线顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，1)，所以设抛物线的标准方程为x22py，p0，把点(，1)代入，得22p，解得p1，所以抛物线方程为x22y.2选CD.易知抛物线的焦点为F.由抛物线的定义，得M.设N点坐标为(0，2).因为圆过点N(0，2)，所以NFNM，即1.设t，则式可化为t24t80，解得t2，即p210p160，解得p2或p8.3当焦点在y轴上时，已知方程x2y40，令x0，得y2，所以所求抛物线的焦点为(0，2)，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由2，得2p8，所以所求抛物线的标准方程为x28y；当焦点在x轴上时，已知
6、x2y40，令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(4，0)，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由4，得2p16，所以所求抛物线的标准方程为y216x.综上，所求抛物线的标准方程为x28y或y216x.抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值【补偿训练】根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在
7、x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.【解析】(1)双曲线方程可化为1，左顶点为(3，0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，所以p6，所以抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得5|AF|.又(3)22pm，所以p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.类型二抛物线的定义及其应用(逻辑推理)【典例】1.(多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2 C4 D22动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆
8、必过定点()A(4，0) B(2，0)C(0，2) D(0，2)3已知动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹是_【解析】1.选AC.由题可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距离为4，故24，所以p4，所以x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.2选B.因为圆心到直线x20的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).3设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线答案：抛物线抛物线的判断方法(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直
9、线(直线不过定点)的距离(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程1(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9【解析】选C.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|xA12，即129，解得p6.2若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式
10、，而，所以p1，2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0).类型三抛物线的实际应用(数学建模)【典例】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【思路导引】以桥的顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解【解析】以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船
11、不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航求抛物线实际应用问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线标准方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和
12、食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y22px(p0)，则362p2，p9.所以所求抛物线的标准方程是y218x，焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长|AF|6.5，故每根铁筋的长度是6.5米【补偿训练】如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1
13、 m)【解析】如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0).依题意有P(1，1)在此抛物线上，代入得p，故抛物线方程为x2y.又点B在抛物线上，将B(x，2)代入抛物线方程得x，即|AB|，则|OB|OA|AB|1，因此水池的直径为2(1)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m备选类型抛物线的最值问题(数学运算)【典例】已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标【思路导引】利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离【解析
14、】如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号所以(|PA|PF|)min|AB|415.此时yP2，代入抛物线得xP1，所以P(1，2).在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A B3 C D【解析】选A.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离如图所示，所以点P到准线x的距离d|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y22x
15、的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，所以其最小值为|AF|.课堂检测素养达标1对抛物线x24y，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0，1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1，0)D开口向右，焦点为【解析】选A.抛物线x24y开口向上，焦点为(0，1).2已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3|【解析】选C.如图所示
16、，由定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，由2x2x1x3知，2|FP2|FP1|FP3|.3若抛物线y2x的焦点与椭圆1的左焦点重合，则m的值为()A B C2 D2【解析】选A.抛物线y2x的焦点坐标为，椭圆1，因为a27，b23，所以c2a2b24，所以椭圆的左焦点坐标为(2，0)，因为抛物线y2x的焦点与椭圆1的左焦点重合，所以2，所以m.4抛物线y24mx(m0)的焦点到双曲线1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为_【解析】抛物线y24mx(m0)的焦点为F(m，0)，双曲线1的渐近线方程为3x4y0，则F(m，0)到渐近线的距离为3m5，所以抛物线的方程为y220x.答案：y220x5如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上求抛物线E的方程【解析】依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.关闭Word文档返回原板块
