1、课时分层作业(二十一)(建议用时:40分钟)基础达标练一、选择题1直线yxm与椭圆y21有两个不同的交点,则m的范围是()A5m5Bm,或mCmDmD将yxm代入y21,有5x28mx4m240,64m280(m21)0,得m25,m.2方程|xy2|表示的曲线是()A椭圆B双曲线C线段 D抛物线D|xy2|,.即点P(x,y)到点(1,1)的距离与它到定直线xy20的距离相等,点P的轨迹是抛物线3若直线y2(x1)与椭圆1交于A,B两点,则|AB|()A. B.C. D.C由方程组消去y,整理得3x25x0.解得x10,x2,分别代入y2(x1),得y12,y2.|AB|.4已知双曲线方程为
2、x21,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l()A4条 B3条C2条 D1条B因为双曲线方程为x21,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条5已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1B设双曲线的标准方程为1(a0,b0),由题意知c3,a2b29,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有两式作差得,又A
3、B的斜率是1,所以4b25a2,代入a2b29得a24,b25,所以双曲线标准方程是1.二、填空题6中心在原点的双曲线,若它的实半轴长为2,一条准线的方程为x,则该双曲线的离心率e_4由于双曲线的中心在坐标原点,x,即.又实半轴长为2,所以上式变为,4,即e4.7已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A,B两点,且P是弦AB的中点,则直线AB的方程为_xy10依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y2x1,y2x2,两式相减得yy2(x1x2),即1,直线AB的斜率为1,直线AB的方程是y1x2,即xy10.8已知直线ykx2与双曲线x2y26的右支相交于不同两点,则
4、k的取值范围是_由得(1k2)x24kx100,直线ykx2与双曲线x2y26的右支相交于不同两点,即方程有两个不同的正实数解,所以解得k1.三、解答题9已知椭圆1,直线l:4x5y400,椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?若存在,求出最小距离;若不存在,请说明理由解由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交设直线m与椭圆相切且平行于直线l,则直线m的方程可以设为4x5yk0.由方程组消去y,得25x28kxk22250.令0,得64k2425(k2225)0,解得k125,k225.由图可知,当k25时,直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为4x5y25
5、0,直线m与直线l间的距离d,即最小距离为.10椭圆C1:y21,椭圆C21(ab0)的一个焦点坐标为(,0),斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A,B两点,线段AB的中点H的坐标为(2,1)(1)求椭圆C2的方程;(2)设P为椭圆C2上一点,点M,N在椭圆C1上,且2.问:直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由解(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),H(xH,yH),则.又直线l的斜率为1,点H的坐标为(2,1),1,即a22b2.又a2b25,b25,a210,椭圆C2的方程为1.(2)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)2,又x
6、2y10,(x12x2)22(y12y2)210,即x2y4(x2y)4x1x28y1y210,又x2y2,x2y2,104x1x28y1y210,即x1x22y1y20.kOMkON.能力提升练1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.C设椭圆与直线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点由消去y,得5x28tx4(t21)0.则有x1x2t,x1x2.|AB|x1x2| ,当t0时,|AB|max.2设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A. B.C. D.D由已知得
7、F,故直线AB的方程为ytan 30,即yx.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立将代入并整理得x2x0,x1x2,线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.3已知双曲线x21,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A,B两点,并使P为AB的中点,则直线AB的斜率为_6法一:显然直线AB存在斜率,设AB斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则AB方程为y1k(x2),由得(3k2)x2(4k22k)x4k24k40,x1x24,k6.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x24,y1y22,且x1,x1.两式相减得(x1x2
8、)(x1x2).显然x1x20,6,即kAB6.4已知椭圆1,若对于直线y4xm,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称,则实数m的取值范围为_设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y4xm对称的两点,P(x,y)为弦P1P2的中点,则3x4y12,3x4y12,两式相减得,3(xx)4(yy)0,即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.x1x22x,y1y22y,y3x,这就是弦P1P2中点P轨迹方程它与直线y4xm的交点必须在椭圆内,联立,得,则必须满足y23x2,即(3m)23m2,解得m.即当m时,椭圆上总有不同两点关于直线y4xm对称5在平面直角坐标系
9、xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点M(x,y),依题意得|MF|x|1,即|x|1,化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中,记C1:y24x,C2:y0(x0)依题意,可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.()当k0时,此时y1.把y1代入轨迹C的方程,得x.故此时直线l:y1与轨迹C恰好有一个公共点.()当k0时,方程的判别式为16(
10、2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y1k(x2),令y0,得x0.(a)若由解得k1,或k.即当k(,1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(b)若或由解得k,或k0.即当k时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点故当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点(c)若由解得1k,或0k.即当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合()()可知,当k(,1)0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.