1、A级基础巩固 1.对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,mD.mn,m,n解析:因为n,mn,所以m.因为m,由面面垂直的判定定理,所以.答案:C2.若从二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A.相等B.互补C.互余D.无法确定解析:如图所示,BD,CD分别为AB,AC所在平面与,的交线,则BDC为二面角-l-的平面角,且ABD=ACD=90,所以A+BDC=180.答案:B3.空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,则()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBC
2、D.平面ADC平面DBC解析:因为BCAD,ADBD,BCBD=B,所以AD平面BCD.因为AD平面ADC,所以平面ADC平面DBC.答案:D4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,若PAPB,PBPC,PCPA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有3对.解析:平面PAB平面PAC,平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.5.如图所示,AC平面BCD,BDCD,AC=12AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小.解:因为AC平面 BCD,BD平面 BCD,所以BDAC.因为BDCD,ACCD=C,所以BD平面 ACD.因为AD平面 ACD,所以ADBD,所以ADC即为
3、平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.在RtACD中,AC=12AD,所以ADC=30,所以平面ABD与平面BCD所成的二面角为30.B级能力提升6.如图所示,二面角-l-的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是34.解析:如图所示,作AO于点O,过点O作OCl于点C,连接OB,AC,由线面垂直、线线垂直可得ACl.设AB与所成的角为,则ABO=, 所以sin =AOAB=ACABAOAC=sin 30sin 60=34.7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ACB=90,AC=12AA1,D是棱AA1的中点.证明
4、:平面BDC1平面BDC.证明:由题设知,BCCC1,BCAC,CC1AC=C,所以BC平面ACC1A1.因为DC1平面ACC1A1,所以DC1BC.由题意知,A1DC1=ADC=45,所以CDC1=90,即DC1DC.因为DCBC=C,所以DC1平面BDC.因为DC1平面BDC1,所以平面BDC1平面BDC.8.如图所示,几何体是某圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是 FD 的中点.(1)设P是 EC 上的一点,且APBE,求CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.解:(1)因为APBE,ABBE,AB平面
5、ABP,AP平面ABP,ABAP=A,所以BE平面ABP.因为BP平面ABP,所以BEBP.因为EBC=120,所以CBP=30.(2)如图所示,取 EC 的中点H,连接EH,GH,CH.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EMAG,CMAG,所以EMC为所求二面角的平面角.因为EBC=120,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=32+22=13.因为AM=1,所以EM=CM=13-1=23.在BEC中,EBC=120,由余弦定理,得EC2=22+22-222cos 120=12,所以EC=23=EM=CM,所以EMC为等边三角形,所以所求二面角为60.C级挑战创新9.实际
6、应用问题如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了面面垂直的判定定理.解析:如图所示,因为OAOB,OAOC,OB,OC,且OBOC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA.由OA,根据面面垂直的判定定理,可得.10.探索性问题如图所示,已知在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过点A作AECD,垂足为E.现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证:BC平面CDE.(2)在线段AE上是否存在一点R,使得平面BDR平面BDC,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:因为AECD,所以AECE,AEDE.因为CEDE=E,所以AE平面CDE.由已知易得AEBC,所以BC平面CDE.(2)解:存在,当点R满足AR=14AE时,平面BDR平面BDC.理由:如图所示,过点E作EFCD交CD于点F,易得CF=14CD.由(1)可知BC平面CDE,则BCEF,所以EF平面BCD.过点F作FGBC交BD于点G,连接GR,则FG=34BC.因为AR=14AE,且BCAE,所以四边形EFGR是平行四边形,所以EFGR,所以GR平面BCD.因为GR平面BDR,所以平面BDR平面BDC.
