1、主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理1第一编 专题整合突破主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2专题二 三角函数、平面向量主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理3第三讲 平面向量(选择、填空题型)主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理4命题全解密MINGTIQUANJIEMI1.命题点 向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下2.交汇点 平面
2、向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等3.常用方法 数形结合、转化、化归.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理5主干知识整合主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理6必记公式1两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)；(2)abab0 .2向量的夹角公式设 为 a 与 b(a0，b0)的夹角，且 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cos ab|a|b|.x1y2x2y10 x1x2y1y20 x1x2y1y2x21y21x22y22主干知识整合热点探究悟道建模规
3、范答题适考素能特训大二轮 数学 理7重要概念1零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.2长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 a|a|.3方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)4如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量5向量的投影：|b|cosa，b叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理8重要结论1若 a 与 b 不共线，且 ab0，则.2已知OA OB OC(，为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是.3若 D 是ABC 中 BC 边的中
4、点，则有.4若 G 是ABC 的重心，则有.重要定理1向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是当且仅当存在唯一一个实数，使.2平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使，其中 e1，e2 是一组基底01ABAC2ADGA GB GC 0baa1e12e2主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理9易错提醒1向量具有方向性，易因没看清方向而用错2要明确数量积中夹角：是两向量共起点时的角.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理10热点探究悟道主干知识整合
5、热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理11热点一 平面向量的概念及线性运算例 1(1)2015山西质量监测已知 O，A，B，C 为同一平面内的四个点，若 2AC CB 0，则向量OC 等于()A.23OA 13OBB13OA 23OBC2OA OBDOA 2OB解析 因为ACOC OA，CB OB OC，所以 2ACCB 2(OC OA)(OB OC)OC 2OAOB 0，所以OC 2OA OB，故选 C.点击观看考点视频主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理12(2)ABC 中，AB10，AC15，BAC3，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在直线
6、AC 上，且AC 3AE，直线CD 与 BE 相交于点 P，则|AP|为()A.37B.13C2 13D2 7解析 因为 B、E、P 三点共线，所以APAB(1)AEAB13 AC，又因为 D、C、P 三点共线，同理可得APAD(1)AC2AB(1)AC，、两式对应相等可得213 1，解得2545，AP25AB15AC.两边平方得AP 225AB15AC 2 425AB 2 125AC 2 425ABAC 37，|AP|37.故选 A.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理13(3)已知 P 为ABC 所在的平面内一点，满足PAPB3PC0，ABC 的面积为 2015
7、，则ABP 的面积为_1209解析 PAPB3PC0，PAPB3PC.设 AB 的中点为 D，则 2PD 3PC，P、D、C 三点共线且满足PCPD23，SABP35SABC3520151209.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理14本例(3)中若把条件换成PAPBPC0，结果如何？解 因为PAPBPC0 可知 P 为ABC 的重心，所以CPPD21，SABP13SABC20153.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理15解决平面向量及线性运算问题应注意的几点(1)abab(b0)是判定两个向量共线的重要依据(2)证明三点共线问题，可用
8、向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0.(4)OA OB OC(，为实数)，若 A、B、C 三点共线，则 1.(5)平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理1612015课标全国卷设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 3CD，则()A.AD 13AB43ACB.AD 1
9、3AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC解析 由题意得AD AC CD AC 13BCAC13AC13AB13AB43AC，故选 A.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理1722015江苏高考已知向量 a(2,1)，b(1，2)若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_3解析 由向量 a(2,1)，b(1，2)，得 manb(2mn，m2n)(9，8)，则2mn9m2n8，解得m2n5，故 mn3.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理18热点二 平面向量的数量积例 2(1)2015陕西质检设向量 a，
10、b 满足|ab|20，ab4，则|ab|()A.2B2 3C2 D.6解析|ab|20，ab4，|ab|2|ab|24ab16，|ab|2，选 C.点击观看考点视频主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理19(2)2015山西太原一模已知向量 a，b 满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则 a 与 b 的夹角为_23解析(2ab)(ab)62a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，cosa，b ab|a|b|12，a 与 b 的夹角为23.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理20数量积、模和夹角的问题(1)涉及数量积和模的计
11、算问题，通常有两种求解思路：直接利用数量积的定义；建立坐标系，通过坐标运算求解(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方(3)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2112015郑州质量预测已知点 A(1,1)、B(0,3)、C(3，4)，则向量AB在AC方向上的投影为_2解析 由题意知向量AB(1,2)，向量AC
12、(4,3)，设向量AB与向量AC的夹角为，则 cos ABAC|AB|AC|，又ABAC142310，|AB|1222 5，|AC|42325，所以 cos2 55，所以向量AB在向量AC方向上的投影为|AB|cos2.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2222015南昌一模已知ABC 中，ABAC，BC4，BAC90，BE3EC，若 P 是 BC 边上的动点，则APAE的取值范围是_2,6解析 因为 ABAC，BC4，BAC90，所以ABC45，AB2 2.又因为BE3EC，所以BE34BC，设BPtBC，则 0t1，APABBPABtBC，AEABBEAB34
13、BC，所以APAE(ABtBC)AB34BC AB 2tBC AB 34BC AB 34tBC 28t42 2cos1353442 2cos13534t4224t.因为 0t1，所以 224t6，即APAE的取值范围是2,6主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理23热点三 平面向量的综合应用例 3(1)2015辽宁五校联考在ABC 中，(BC BA)AC|AC|2，则ABC 的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析 由(BC BA)AC|AC|2 得(BCBAAC)AC0，则BAAC0，故 BAAC，故选 C.主干知识整合热点探究悟道建
14、模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理24(2)2015唐山统考过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C：x2y24y10 相切于点 B，则CACB_.5解析 由 x2(y2)25，可知圆心 C(0,2)，半径 r 5，|AC|302122 10，|AB|105 5，ACB45，CA CB 10 5cos455.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理25(3)2015九江一模如图，在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 a2b2c2bc，a 3，S 为ABC 的面积，圆 O 是ABC 的外接圆，P 是圆 O 上一动点，当 S 3cosBcosC
15、取得最大值时，PAPB的最大值为_32 3解析 a2b2c2bc，cosAb2c2a22bc12，A23，设圆 O 的半径为 R，则 2R asinA3sin232，R1，S 3cosBcosC12bcsinA 3cosBcosC 34 bc 3cosBcosC 3sinBsinC 3cosBcosC 3cos(BC)，当 BC6时，S 3cosBcosC 取得最大值以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系，则 A(0,1)，B(32，12)，C32，12，设 P(cos，sin)，则PAPB(cos，1sin)32 cos，12sin 32 cos32sin3232 3cos3，当且仅当 co
16、s3 1 时，PAPB取得最大值32 3.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理26解向量与其他知识的综合问题应注意向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋势，对于向量而言，要掌握相关的夹角、模、垂直、平行等重要公式而在三角形中有关最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函数的范围，或归结为二次函数的最值、或利用基本不等式等进行，无论采用哪种形式，都要强调变量的范围处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转化，并且注意一些隐含条件，如内角和为 180、大角对大边等内在属性主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2712015湖南高考已知点 A，B，
17、C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A6 B7C8 D9解析 解法一：因为 A，B，C 均在单位圆上，AC 为直径，故PAPC2PO(4,0)，|PAPBPC|2PO PB|2|PO|PB|，又|PB|PO|13，所以|PAPBPC|437，故其最大值为 7，选 B.解法二：因为 A，B，C 均在单位圆上，AC 为直径，不妨设 A(cosx，sinx)，B(cos(x)，sin(x)(k，k Z)，C(cosx，sinx)，PA PB PC (cos(x )6，sin(x )，|PA PB PC|cosx62sin2x 37
18、12cosx7，故选 B.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2822015兰州诊断若函数 f(x)2sin8x4(2x14)的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数 f(x)的图象交于 B、C 两点，O 为坐标原点，则(OB OC)OA _.72解析 2x14，f(x)0 的解为 x6，即 A(6,0)，而 A(6,0)恰为函数 f(x)图象的一个对称中心，B、C 关于 A 对称，(OB OC)OA 2OA OA 2|OA|223672.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理29建模规范答题主干知识整合热点探究悟道建模规范
19、答题适考素能特训大二轮 数学 理30课题 10 向量几何意义的应用2015安徽高考ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)BC审题过程切入点 等边三角形中向量的应用转化关注点 线性运算、数量积的应用.规范解答 AB2a，AC2ab，a12AB，bACABBC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，|b|2，ab12ABBC1，故 a，b 不垂直，4ab2ABBCABAC，故(4ab)BC(ABAC)BC220，(4ab)BC，故选 D.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学
20、 理31运用向量的几何意义解决问题的模型示意图如下：主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理321.已知平面向量 a，b，c 满足|a|2，|b|4，cab，ca，则 a 与 b 的夹角为()A30 B60C90 D120解析 解法一：因为 ca，且 aba(ca)ac|a|24，所以 cosa，b ab|a|b|42412.因为a，b0，180，所以a，b120，故选 D.解法二：如图所示，ca，因为|a|2，|b|4，所以BOC30，故 a 与 b 的夹角为 120，故选 D.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理332已知：圆 O 的方程为 x2y216，过 P(2,2)的直线与圆 O 相交于 MN，求 MN 的中点 Q 的轨迹方程解 设 Q(x，y)，由 OQQP 得OQ QP 0，即(x，y)(2x,2y)0，整理：x(2x)y(2y)0，即 x2y22x2y0，所以 Q 的轨迹方程为 x2y22x2y0.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理34适考素能特训
