1、江西省萍乡市湘东中学2022届高三开学考试数学（理科）试卷（考试试卷：120分钟，满分150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.设复数其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为A. 2B. 2iC. D. 3双曲线 的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）A 1 B 2 C D 4偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（ ）A B C D 5为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若
2、男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ）A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种6已知平面向量的夹角为，且，则( )A. 1 B. C. 2 D. 7已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点若|PF2|2|PF1|，PF1F260，则双曲线的离心率为A B2 C D8已知向量a（1，x1），b（y，2）若向量a，b同向，则xy的最小值为A B2 C D9的展开式中的系数是A.90BC15D10已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为AB3C2D11.已知A（4,3），F为椭圆的
3、右焦点，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切于点B，则直线BF的斜率为A B C D12.已知不等式 恒成立，则的最大值为A B C D二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知向量，若，则_14.已知实数x，y满足不等式组，则的最小值为_15.某医院传染病科室有5名医生、4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生、2名护士，则不同的选取方法有_种.16.已知定义在R上的函数满足，且当时，当时，则函数在上有_个零点.三解答题：共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个考题考生都必须作答。第22、23题为选考题
4、，考生根据要求作答。17（本题12分）已知等比数列中， ， （）若为等差数列，且满足， ，求数列的通项公式（）若数列满足，求数列的前项和18.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值19.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的
5、利润(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及期望E()20. 如图已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由21. 已知函数.（1）若，讨论方程根的情况；（2）若，讨论方程根的情况.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
6、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求的值.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的最小值.数学（理科）参考答案1.B 2.C 3.B 4.B 5.B6.A 7.D 8.D 9.B 10.D 11.C 12.A13.-30 14.-4 15.10 16.717.()在等比数列中, .所以,由得,即, 因此, 3分在等差数列中,根据题意, 可得, 所以, 6分()若数列满足,则, 8分因此有 12分 18.解：(1)证明：在三棱柱ABC A1
7、B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED(图略)，在ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DEAC，DEAC.又F为A1C1的中点，可得A1FA1C1，所以A1FDE，A1FDE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)法一：因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CDAB，又AA1CD，AA1ABA，所以CD平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG平面A1CD，所以BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设三棱柱的棱长为a，可得A
8、1D，由A1ADBGD，可得BG，在RtBCG中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1，ODOA1.又A1B1C1为等边三角形，所以OC1A1B1.以O为坐标原点， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)所以，.设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，由得令x2，得n(2,1,0)设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin .所以直
9、线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.19. 解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”又P()(10.4)30.216，故P(A)1P()10.2160.784.(2)的可能取值为200,250,300.P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2.的分布列为200250300P0.40.40.2E()2000.42500.43000.2240.20. 解：(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y
10、得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故解得t1.存在点M(1,0)符合题意21. 21. （1），令.此时若，在递减，无零点；若，在递增，无零点； 2分若，在递减，递增，其中.若，则，此时在无零点；.若，则，此时在有唯一零点；综上所述：当或时，无零点；当时，有个零点. 5分（2） 解法一：，令，若，在递增，无零点；。 6分若，在递增，递减，递增. 其中 7分显然消元：，其中，令， ，即，无零点.综上所述：，方程无解. 12分解法二：令，.令，.显然在递减，递增，递减，在递减，递增，递减,其中.且，由洛必达法则：，由，.综上所述：，方程无解.12分22. （1）由得：，曲线的直角坐标方程为：，由消去得：，直线的普通方程为：（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到设对应的参数分别为，则是方程的两个解，由韦达定理得：，因为，所以，解得23. （1）， 或或解得或的解集为或.（2）由图知.，即，当且仅当时等号成立，解得，当且仅当时等号成立故的最小值为.
