1、天津市南开中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)一、选择题(共8小题).1已知函数f(x)x32x2,则f(x)的单调减区间是()A(4,+)B(0,2)C(0,4)D(,0)2某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车,其位移h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为h(t)t32t+,则h(1)的实际意义是()A汽车刹车后1s内的位移B汽车刹车后1s内的平均速度C汽车刹车后1s时的瞬时速度D汽车刹车后1s时的瞬时加速度3已知函数f(x)的图象如图所示,f(x)为f(x)的导函数,根据图象判断下列叙述正确的是()Af(x1)f(x2)B
2、f(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)04已知x2是f(x)2lnx+ax23x的极值点则f(x)在,3上的最大值是()A2ln3BC2ln3D2ln245用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数,要求偶数不能相邻,则这样的五位数有()个A120B216C222D2526若的展开式中的二项式系数和为A,各项系数和为B,则AB()A33B31C33D317已知f(x)为定义在(,0)(0,+)上的偶函数,f(x)是f(x)的导函数,若当x0时,f(x)lnx+0,则不等式(x1)f(x)0的解集是()A(1,+)B(0,1)C(,0)(1,+)D(,0)8已知
3、函数f(x),g(x)2+lnx,若f(m)g(n),则mn的最大值是()AB4C1+ln2D2ln2+3二、填空题(共6小题).9(2x3)7的展开式中常数项是 (用数字作答)10现有三张卡片每张卡片上分别写着蔬菜园,水果园,动物园三个景区中的两个且卡片不重复,甲、乙、丙各选一张去对应的两个景区参观,甲看了乙的卡片后说:“我和乙都去动物园”,乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”,则甲丙同去的景区是 11已知函数f(x)ln(2x3)+ax在()上单调递减,则a的取值范围是 12若函数f(x)x33x2在区间(a2,a+1)内存在极大值,则a的取值范围是 13已知函数f(x)x3+3mx2
4、+nx+m2在x1时有极值0,则m+n 145个不同的小球全部放入编号为2,3,4的三个盒子中,要求没有空盒,且每盒的小球数不大于盒子的编号数,共有 种放法(用数字作答)三、解答题:本大题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15已知函数f(x)lnx+2x2()求与f(x)相切且斜率为1的直线方程;()若g(x)f(x)+ax+2,当x1,e时,g(x)0恒成立,求a的取值范围16已知f(x)lnxmx2(2m1)x(mR),g(x)x21()讨论f(x)单调性;()当m0时,若对于任意x10,总存在x22,1,使得f(x1)g(x2),求m的取值范围17已知函数f(x
5、)xex+x22x+1,其中e为自然对数的底数,函数g(x)lnxx+2()求g(x)的最大值;()求证:g(x)+x+30;()求证:f(x)+xg(x)42参考答案一、选择题(共8小题).1已知函数f(x)x32x2,则f(x)的单调减区间是()A(4,+)B(0,2)C(0,4)D(,0)解:f(x)x32x2,f(x)x24xx(x4),当0x4时,f(x)0,当x0或x4时,f(x)0,f(x)的单调减区间是(0,4),故选:C2某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车,其位移h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为h(t)t32t+,则h(1
6、)的实际意义是()A汽车刹车后1s内的位移B汽车刹车后1s内的平均速度C汽车刹车后1s时的瞬时速度D汽车刹车后1s时的瞬时加速度解:h(t)表示物体运动在时刻t的速度,即在t时刻的瞬时速度,因此h(1)的实际意义为汽车刹车后1s时的瞬时速度故选:C3已知函数f(x)的图象如图所示,f(x)为f(x)的导函数,根据图象判断下列叙述正确的是()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0解:由f(x)的图象可知,在曲线上横坐标为x1处的切线的斜率大于曲线上横坐标为x2处的切线的斜率,即f(x1)f(x2)0,故B正确,A错误,C错误;又f(x1)0,
7、故D错误;故选:B4已知x2是f(x)2lnx+ax23x的极值点则f(x)在,3上的最大值是()A2ln3BC2ln3D2ln24解:,由题意得f(2)4a20,所以a,当时,f(x)0,函数单调递增,1x2时,f(x)0,函数单调递减,当2x3时,f(x)0,函数单调递增,又f(1),f(3)2ln3,故f(1)f(3),所以当x3时,函数取得最大值2ln3故选:A5用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数,要求偶数不能相邻,则这样的五位数有()个A120B216C222D252解:根据题意,用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数,需要在6个数字选出5个来组成五位数,分2
8、种情况讨论:选出的5个数字中有3个奇数,2个偶数,有A33C32A42216个符合题意的五位数;选出的5个数字中有2个奇数,3个偶数,有C32A22A3336个符合题意的五位数;则有216+36252个符合题意的五位数;故选:D6若的展开式中的二项式系数和为A,各项系数和为B,则AB()A33B31C33D31解:若的展开式中的二项式系数和为A2n2532,各项系数和为B(23)51,则AB33,故选:A7已知f(x)为定义在(,0)(0,+)上的偶函数,f(x)是f(x)的导函数,若当x0时,f(x)lnx+0,则不等式(x1)f(x)0的解集是()A(1,+)B(0,1)C(,0)(1,+
9、)D(,0)解:令g(x)f(x)lnx(x0),当x0时,f(x)lnx+0,g(x)f(x)lnx+0,g(x)在区间(0,+)上单调递减,又g(1)f(1)ln10,当x(0,1)时,lnx0,g(x)f(x)lnx0,f(x)0;当x(1,+)时,lnx0,g(x)f(x)lnx0,f(x)0;f(x)为定义在(,0)(0,+)上的偶函数,当x(,1)(1,0)时,f(x)0;不等式(x1)f(x)0(1),或(2),解(1)得x1,解(2)得x,综上所述,不等式(x1)f(x)0的解集为(1,+),故选:A8已知函数f(x),g(x)2+lnx,若f(m)g(n),则mn的最大值是(
10、)AB4C1+ln2D2ln2+3解:依题意,设(t0),则m2lnt+4,net2,mn2lnt+4et2,令g(t)2lntet2+4,t0,则,易知函数g(t)在(0,+)为减函数,且g(2)0,当x(0,2)时,g(t)0,当x(2,+)时,g(t)0,g(t)在(0,2)单调递增,在(2,+)单调递减,g(t)g(2)2ln2+3,即mn的最大值为2ln2+3故选:D二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。9(2x3)7的展开式中常数项是14(用数字作答)解:展开式的通项为令得r6展开式中常数项是T72C7614故答案为1410现有三张卡片每张卡片上分别写着蔬菜园,水果园,
11、动物园三个景区中的两个且卡片不重复,甲、乙、丙各选一张去对应的两个景区参观,甲看了乙的卡片后说:“我和乙都去动物园”,乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”,则甲丙同去的景区是水果园解:因为甲看了乙的卡片后说:“我和乙都去动物园”,所以丙一定不去动物园,一定去蔬菜园,水果园,又因为乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”,所以乙一定不去水果园,一定去了蔬菜园,动物园,因此甲一定去了水果园,动物园,所以甲丙同去的景区是水果园故答案为:水果园11已知函数f(x)ln(2x3)+ax在()上单调递减,则a的取值范围是(,解:f(x)ln(2x3)+ax在()上单调递减,当x()时,f(x)+ax0
12、,即ax,令g(x)x,g(x)1+0,g(x)在()上单调递增,g(x)ming(),a,故答案为:(,12若函数f(x)x33x2在区间(a2,a+1)内存在极大值,则a的取值范围是(1,2)解:f(x)3x26x3x(x2),易得,当x2或x0时,f(x)0,函数单调递增,当0x2时,f(x)0,函数单调递减,故当x0时,函数取得极大值,因为f(x)x33x2在区间(a2,a+1)内存在极大值,所以a20a+1,解得1a2故答案为:(1,2)13已知函数f(x)x3+3mx2+nx+m2在x1时有极值0,则m+n11解:f(x)x3+3mx2+nx+m2f(x)3x2+6mx+n依题意可
13、得联立可得当m1,n3时函数f(x)x3+3x2+3x+1,f(x)3x2+6x+33(x+1)20函数在R上单调递增,函数无极值,舍故答案为:11145个不同的小球全部放入编号为2,3,4的三个盒子中,要求没有空盒,且每盒的小球数不大于盒子的编号数,共有130种放法(用数字作答)解:根据题意,5个不同的小球全部放入编号为2,3,4的三个盒子中,需要将5个小球分为3组;若分为3、1、1的三组,3个小球的一组只能放在编号为3,4的两个盒子,剩下的2组可以放进任意的盒子中,有C53C21A2240种放法,若分为2、2、1的三组,三组可以放进任意的盒子中,有A3390种放法,此时有40+90130种
14、放法;故答案为:130三、解答题:本大题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15已知函数f(x)lnx+2x2()求与f(x)相切且斜率为1的直线方程;()若g(x)f(x)+ax+2,当x1,e时,g(x)0恒成立,求a的取值范围解:(I)f(x)+2,令f(x)+21,解得x1,f(1)0,切线方程为:y0x1,即xy10(II)g(x)f(x)+ax+2,当x1,e时,g(x)0恒成立,化为:a+2,设h(x),x1,eh(x)0,函数h(x)在x1,e上单调递增h(x)maxh(e),a+2,解得a2a的取值范围是2,+)16已知f(x)lnxmx2(2m1)x
15、(mR),g(x)x21()讨论f(x)单调性;()当m0时,若对于任意x10,总存在x22,1,使得f(x1)g(x2),求m的取值范围解:()函数f(x)的定义域为(0,+),当m0时,f(x)0,f(x)在(0,+)单调递增,当m0时,令f(x)0,解得,令f(x)0,解得,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减;()当m0时,根据题意,不等式等价于,而,显然此时g(x)在2,1上单调递增,故,设,显然h(m)在定义域内为减函数,且,17已知函数f(x)xex+x22x+1,其中e为自然对数的底数,函数g(x)lnxx+2()求g(x)的最大值;()求证:g(x)+x+30;()求证:f(x)+xg(x)42解:()函数g(x)的定义域为(0,+),令g(x)0,解得0x1,令g(x)0,解得x1,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,g(x)maxg(1)1;()证明:令,则,令h(x)0,解得x1,令h(x)0,解得0x1,h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,h(x)h(1)0,即得证;()证明:所求证不等式等价为,由()可得lnxx1,所以ln(x+1)x,exx+1,x0时等号成立,由()可得时等号成立,设,又等号不能同时成立,故原不等式成立