1、第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质2会求出某些简单的离散型随机变量的分布列(重点)3理解两点分布和超几何分布及其 推 导 过 程，并 能 简 单 的 运用(难点)1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象的素养2借助分布列的求法，培养数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1离散型随机变量的分布列(1)定义一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(
2、Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixn P_ 这个表格称为离散型随机变量 X 的，简称为 X 的_为了简单起见，也用等式，i1,2，n 表示 X的分布列p1p2pipn分布列概率分布列P(Xxi)pi(2)性质pi 0，i1,2，n；i1npi.1 思考 1：求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？提示 求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量所有可能的取值 xi(i1,2,3，n)；(2)求出相应的概率 P(Xxi)pi(i1,2,3，n)；(3)列成表格形式2两点分布X01 P_ 若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p为成功概率1p
3、pP(X1)3超几何分布一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*.X01m P_ _ _ CkMCnkNMCnNC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN思考 2：在超几何分布中，随机抽样采用的是有放回抽样，还是不放回抽样 提示 一般为不放回抽样 1下列表中能成为随机变量 X 的分布列的是()C 由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为 1.2若离散型随机变量 X 的分布列为X01 P 2a 3a 则 a()A.15 B.14 C.13 D.
4、12A 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a3a1，所以 a15.3某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选4 人参加某种活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X3)_.521 P(X3)C35C15C410 521.合 作 探 究 释 疑 难 分布列的性质及应用【例 1】设随机变量 X 的分布列 PXk5 ak(k1,2,3,4,5)(1)求常数 a 的值；(2)求 PX35.解 分布列可改写为：X 1525354555 P a 2a 3a 4a 5a(1)由 a2a3a4a5a1，得 a 115.(2)PX35 PX35 PX45 PX55 315 4
5、15 51545或PX35 1PX25 1115 215 45.利用离散型分布列的性质解题时要注意两个问题1Xxi 的各个取值表示的事件是互斥的 2不仅要注意i1npi1 而且要注意 pi0，i1,2，n.跟进训练1设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为X 101 P1212q q2(1)求 q 的值；(2)求 P(X0)，P(X0)的值解(1)由分布列的性质得 12q0，q20，1212qq21，解得 q1 22.(2)P(X0)P(X1)12；P(X0)P(X1)P(X0)12121 22 212.离散型随机变量的分布列【例 2】一袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,
6、5,6，现从中随机取出 3 个球，以 X 表示取出球的最大号码(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的取值不小于 4 的概率解(1)随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6，P(X3)C33C36 120，P(X4)C23C36 320，P(X5)C24C36 310，P(X6)C25C3612，所以随机变量 X 的分布列为 X 345 6 P 12032031012(2)X 的取值不小于 4 的概率为 P(X4)P(X4)P(X5)P(X6)320 310121920.(变条件)本例中“若 X 表示取出球的最小号码”，求 X 的分布列解 随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(X1
7、)C25C3612，P(X2)C24C36 310，P(X3)C23C36 320，P(X4)1C36 120，所以，X 的分布列为 X 1234 P 12310320120 求离散型随机变量分布列时应注意的问题1确定离散型随机变量 的分布列的关键是要搞清 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出 取每一个值的概率 2在求离散型随机变量 的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确跟进训练2袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球后停止，求取球次数 X 的分布列解 X 的可能取值为 1,2,
8、3,4,5，则 第 1 次取出白球的概率 P(X1)15，第 2 次取出白球的概率 P(X2)451415，第 3 次取出白球的概率 P(X3)45341315，第 4 次取出白球的概率 P(X4)4534231215，第 5 次取出白球的概率 P(X5)453423121115.所以 X 的分布列是 X 1 2 3 4 5 P 1515151515 两点分布与超几何分布 探究问题1只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？提示 不一定如随机变量 X 的分布列由下表给出 X25 P 0.3 0.7 X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.2在 8 个大小相同的球中，有 2 个
9、黑球，6 个白球，现从中取 3个球，求取出的球中白球个数 X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？提示 随机变量 X 服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有 N 个个体)内含有两种不同事物 A(M 个)、B(NM 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 的概率分布问题【例 3】在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分布列；(2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张，求顾
10、客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列思路点拨(1)从 10 张奖券中抽取 1 张，其结果有中奖和不中奖两种，故 X0 或 1.(2)从 10 张奖券中任意抽取 2 张，其中含有中奖的奖券的张数 X(X1,2)服从超几何分布 解(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取值只有 0 和 1 两种情况 P(X1)C14C110 41025，则 P(X0)1P(X1)12535.因此 X 的分布列为 X 0 1 P 3525(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的 2 张奖券中有 1 张中奖或 2 张都中奖 故所求概率 PC14C16C24C06C21
11、0304523.Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且 P(Y0)C04C26C210 154513，P(Y10)C13C16C210 184525，P(Y20)C23C06C210 345 115，P(Y50)C11C16C210 645 215，P(Y60)C11C13C210 345 115.因此随机变量 Y 的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 1325115215115 1两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的(2)由对立事件的概率求法可知，已知 P(X0)(或 P(X1)，便可求出 P(X1)(或 P(X0)2解决超几何分布问题的
12、两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公式求出 X取不同 k 的概率 P(Xk)，从而求出 X 的分布列跟进训练3老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为 X，则 P(Xr)Cr6C3r4C310(r0,1,2,3)所以 P(X0)C06C34C310 130，P(X1)C
13、16C24C310 310，P(X2)C26C14C310 12，P(X3)C36C04C310 16.所以 X 的概率分布列为 X012 3 P1303101216(2)他能及格的概率 P(X2)P(X2)P(X3)121623.课 堂 小 结 提 素 养 1在利用分布列的性质解题时要注意：Xxi 的各个取值所表示的事件是互斥的；不仅要注意i1npi1，而且要注意 0pi1，i1,2，n.2超几何分布的数学模型是：一批产品共有 N 件，其中有 M 件不合格品，随机取出的 n 件产品中，不合格品 Xr 的概率是 P(Xr)CrMCnrNMCnN.在应用上述公式时，要注意 N，M，n，r 的实际
14、意义1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究()(3)从 3 本物理书和 5 本数学书中选出 3 本，记选出的数学书为 X本，则 X 服从超几何分布()答案(1)(2)(3)2一串钥匙有 6 把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数 X 的最大可能取值为()A6 B5 C4 D2B 由于是逐次试验，可能前 5 次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选 B.3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数(1)求 的分布列；(2)求“所选 3 人中女生人数 1”的概率解(1)可能取的值为 0,1,2，服从超几何分布，P(k)Ck2C3k4C36，k0,1,2.所以，的分布列为 0 1 2 P 153515(2)由(1)知，“所选 3 人中女生人数 1”的概率为 P(1)P(0)P(1)45.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
