1、了解曲线与方程的关系，掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法，并能灵活应用培养用坐标法解题的思想 ()()101_2_.Cf xy 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程，的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个；以这个方程的解为坐标的点均是那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线曲线与方程的关叫做方程系的曲线 1()()2_.3_()0.4(0()2)5M xyMMf xyf xy建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点 动点 的坐标为，写出动点所满足的将动点的坐标，求轨迹方程的一般列出关于动点坐标的方程，化简方程，为最简形式证明
2、或检验 所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已步骤知条件 25()3()1()xyxy求轨迹方程的常用注意：第步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第可以省略；否则方程变形时，可能扩大 或缩小、的取值范围，必须检验是否纯粹或完备 即去伪与补漏 直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 如距离与角 的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为，的等式就得到曲线的轨方法迹方程；2()_3()()MPP 定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹 如直线、圆锥曲线 的，则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；代入法 相关点法：当所求动点是随着另一动点称之为
3、相关点 而运动，如果相关点 满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点坐标代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；4()().5xyxyxy参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量 角度、斜率、比值、截距或时间等 的制约，即动点坐标，中的，分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到，的关系式方程的解；曲线上的点；几何条件的集合；代入几何条【要
4、点指南】件；定义 1.方程 x2xyx 表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线【解析】方程可变形为 x(xy1)0，所以 x0 或 xy10，表示两条直线 2.到两定点 A(0,0)，B(3,4)的距离之和为 5 的点的轨迹是()A椭圆BAB 所在的直线C线段 ABD无轨迹【解析】|AB|5，所以动点的轨迹为线段 AB.3.已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50【解析】设 Q(x，y)，则可得 P(2x,4y)，代入
5、2xy30，得 2xy50.4.已知实数 m，n 满足 m2n21，则P(mn，mn)的轨迹方程是 x2y22.【解析】令mnxmny，得mxy2nxy2.又因为 m2n21，得 x2y22.5.设 P 为双曲线x24 y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 x24y21.【解析】设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x24y21，即为所求 一 直接法求轨迹方程【例 1】设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x22y24 交于 A，B 两点，P 是 l 上满足PAPB1 的点，求点 P 的轨迹方程【分析】设 P 点的坐标为(x，
6、y)，用直接法求得 P 点的轨迹方程，要注意 x 的范围，通过直线 l与椭圆相交获得【解析】设 P 点的坐标为(x，y)，则由方程 x22y24，得 2y24x2，所以 y4x22，所以 A，B 两点的坐标分别为：(x，4x22)，(x，4x22)，又PAPB1，所以(0，4x22y)(0，4x22y)1，即 y24x221，所以x26 y23 1，又直线 l 与椭圆交于两点，所以2x2，所以点 P 的轨迹方程为x26 y23 1(2x2)【点评】求动点的轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指
7、出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)平面上有三点 A(2，y)，B(0，y2)，C(x，y)，若AB BC，则动点 C 的轨迹方程为 y28x.素材1【解析】根据题意，AB(2，y2)，BC(x，y2)因为AB BC，所以AB BC 2xy24 0，即 y28x.故动点 C 的轨迹方程为 y28x.二 定义法求轨迹方程【例 2】如图，已知圆 A：(x2)2y21与点 A(2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程：(1)PAB 的周长为 10；(2)圆 P 过点 B(2,0)且与圆 A 外切(P 为动圆圆心)；(3)圆 P 与圆 A 外切且与直线 x1
8、 相切(P 为动圆圆心)【分析】根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程(1)|PA|PB|10|AB|6.(2)|PA|PB|1.(3)P 点到 A 的距离比 P 点到直线 x1 的距离多 1，即 P 点到 A 的距离等于 P 点到直线 x2 的距离【解析】(1)根据题意知，|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故 P 点的轨迹是椭圆，且 2a6,2c4，即 a3，c2，b 5，因此其方程为x29 y25 1(y0)(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且 2a
9、1,2c4，即 a12，c2，b 152，因此其方程为 4x2 415y21(x12)(3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线x2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其方程为 y28x.【点评】(1)本题为利用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程的问题若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程(2)圆锥曲线的定义揭示了其本质特征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同，因而掌握定义是根本 三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例 3】设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP，PM
10、 PF，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N的轨迹方程【分析】(1)确定 M 与 P 的坐标关系(2)寻找动点 N 与点 M、P 的关系(3)用代入法求轨迹方程【解析】设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，点 N 为轨迹上任意一点因为PM PF，PM(x0，y0)，PF(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以 x0y200.由MN 2MP，得(xx0，y)2(x0，y0)，所以xx02x0y2y0，即x0 xy012y，所以xy24 0，即 y24x.故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x(x0)【点评】在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹
11、方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 如图所示，已知 P(4,0)是圆 x2y236 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB90，求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程素材3【分析】动点 Q 与 A、B 两点的变化有关，由圆的弦的性质知点 Q 与 AB 的中点 R 有关，因此可先求出R 点的轨迹方程，再转化为点 Q 的轨迹方程.【解析】设 AB 的中点为 R(x，y)，则在 RtARO 中，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)又|AR|PR|x42y2，有(x4)2y236(x2y2)即 x2y24x100.因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上
12、运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设 Q(x1，y1)，由 R 为 PQ 的中点，所以有 x4x12，yy12，代入方程 x2y24x100 得，(x142)2(y12)24x142100，整理得 x21y2156，即点 Q 的轨迹方程为 x2y256.四 用参数法求轨迹方程【例 4】已知抛物线 y24px(p0)，O 为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足 OAOB，如果 OMAB于 M 点，求点 M 的轨迹方程【分析】(1)动点 M(x，y)的坐标之间的关系不易找到(2)动点 M 与 A、B 的直接关系不明显，因此需引入参数(3)由 OAOB 建立联系，消去参数得解【解析】当直线 AB
13、的斜率存在时，设 M(x0，y0)，直线AB 的方程为 ykxb.由 OMAB，得 kx0y0，由 y24px，及 ykxb，消去 y，得 k2x2x(2kb4p)b20，所以 x1x2b2k2.消去 x，得 ky24py4pb0，所以 y1y24pbk.由 OAOB，得 y1y2x1x2，所以4pbk b2k2，b4kp，故 y0kx0bk(x04p)把 kx0y0代入，得 x20y204px00(x00)ABx 轴时，M(4p,0)也符合 x2y24px0(x0)，即点 M 的轨迹方程为 x2y24px0(x0)【点评】在一些很难找到形成曲线的动点 P(x，y)的坐标 x，y 所满足的关系
14、式的情况下，往往借助第三个变量 t，建立 t 和 x，t 和 y 的关系式 x(t)，y(t)，再通过一些条件消掉 t 就间接找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的曲线的普通方程过定点 A(a，b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2，且l1 与 x 轴交于点 M，l2 与 y 轴交于点 N，如图所示，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程素材4【解析】(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜率为 k1，则 k10，因为 l1l2，所以 l2 的斜率为 1k1，l1 的方程为 ybk1(xa)，l2 的方程为 yb 1k1(xa)在中令 y0，得 M 点的
15、横坐标为 x1a bk1，在中令 x0，得 N 点的纵坐标为 y1b ak1，设 MN 的中点 P 的坐标为(x，y)，则有xa2 b2k1yb2 a2k1，消去 k1，得 2ax2bya2b20(xa2)(2)当 l1 平行 y 轴时，MN 的中点为(a2，b2)，其坐标满足方程.综合(1)(2)知，MN 的中点 P 的轨迹方程为 2ax2bya2b20.备选例题设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点 O 到直线 AF1 的距离为13|OF1|.(1)证明：a 2b；(2)设 Q1，Q2 为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原
16、点O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD，垂足为 D，求点 D 的轨迹方程【解析】(1)方法 1：由题设 AF2F1F2 及 F1(c,0)，F2(c,0)，不妨设点 A(c，y)，其中 y0.由点 A 在椭圆上，有c2a2y2b21，即a2b2a2y2b21.解得 yb2a，从而得到 A(c，b2a)直线 AF1 的方程为 y b22ac(xc)，整理得 b2x2acyb2c0.由题设，原点 O 到直线 AF1 的距离为13|OF1|，即c3b2cb44a2c2，将 c2a2b2 代入上式并化简得 a22b2，即 a 2b.方法 2：同方法 1，得到点 A 的坐标为(c，b2a)过点 O 作 O
17、BAF1，垂足为 B，易知F1BOF1F2A.故|BO|OF1|F2A|F1A|.由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a.又|BO|13|OF1|，所以13|F2A|F1A|F2A|2a|F2A|，解得|F2A|a2，而|F2A|b2a，故得b2a a2，即 a 2b.(2)设点 D 的坐标为(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)当 y00 时，由 ODQ1Q2 知，直线 Q1Q2 的斜率为x0y0，所以直线 Q1Q2 的方程为 yx0y0(xx0)y0 或 ykxm，其中 kx0y0，my0 x20y0.点 Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组ykxmx22y
18、22b2.将式代入式，得 x22(kxm)22b2.整理得(12k2)x24kmx2m22b20，于是 x1x2 4km12k2，x1x22m22b212k2.由式得 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k22m22b212k2 km4km12k2m2m22b2k212k2.由 OQ1OQ2 知 x1x2y1y20，将式和式代入得3m22b22b2k212k20，即 3m22b2(1k2)将 kx0y0，my0 x20y0代入上式，整理得 x20y2023b2.当 y00 时，直线 Q1Q2 的方程为 xx0.点 Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程
19、组xx0 x22y22b2，所以 x1x2x0，y1,22b2x202.由 OQ1OQ2，知 x1x2y1y20，即 x202b2x2020，解得 x2023b2.这时，点 D 的坐标仍满足 x20y2023b2.综上，点 D 的轨迹方程为 x2y223b2.0000012()0()()0.3)1(Cf xyP xyCf xyxy曲线与方程关系的理解曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上如果曲线 的方程是，那么点，在曲线 上的充要条件是，视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的
20、方程，则曲线上的点集，与方程的解集之间建立了一一对应关系 1()()20 xyf xyxyt轨迹问题的实质就是用动点的两坐标，一一对应的揭示曲线方程解的关系在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系当两坐标之间的关系为直接关系，就是曲线方程的普通形式；当，的关系用一个变量 如 变量 表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程所以解决问题时，应该紧紧求轨迹方程方法实围绕寻找点的两坐质剖析标之间的关系展开探究 2()定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质 往往是距离的等量关系 由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答
