1、1周期现象2角的概念的推广1周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象2任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)象限角在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角|k360k
2、36090，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k360270，kZ第四象限角|k360270k360360，kZ(3)轴线角的集合表示轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角|k360，kZ终边落在x轴的非正半轴上的角|k360180，kZ终边落在x轴上的角|k180，kZ终边落在y轴的非负半轴上的角|k36090，kZ终边落在y轴的非正半轴上的角|k36090，kZ终边落在y轴上的角|k18090，kZ终边落在坐标轴上的角|k90，kZ(4)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角
3、，都可以表示成角与周角的整数倍的和1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象()(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象()(3)钝角是第二象限的角()(4)第二象限的角一定比第一象限的角大()(5)终边相同的角不一定相等()解析：(1)正确秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象(2)错误虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象(3)正确大于90而小于180的角称为钝角，它是第二象限角(4)错误.100是第二象限角，361是第一象限角，但100361.(5)正确终边相同的角可以相差360的整数倍答案：(1)(2)
4、(3)(4)(5)2已知下列各角：120；240；180；495。其中是第二象限角的是()ABC D解析：选D.120是第三象限角；240是第二象限角；180角不在任何一个象限内；495360135，所以495是第二象限角3将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为_答案：253951对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔上弦望下弦朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运
5、动的物体的位移变化的周期性等2对角的概念的两点说明(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置3角的分类(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量如射线OA绕端点O逆时针旋转290到OB的位置，则AOB290.(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角4任意角概念的四个关注点周期现象的判断判断下列现象是否是周期现象(1)地球自转；(2)某地每年一月份
6、的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间【解】(1)是周期现象因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象(2)不是周期现象某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的(3)是周期现象世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的判断某现象为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现 1.(1)试判断下列现象是否是周期现象一年二十四节气的变化；候鸟迁徙；“随机数表”中数的排列(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规
7、律t/s51015202530p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115t/s354045505560p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；说明血压变化的规律解：(1)一年二十四节气是重复出现的，是周期现象候鸟迁徙是周期现象随机数表中的数0，1，2，9是随机出现的，不是周期现象(2)散点图如图从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的象限角的判断(1)已知角是第三象限角，则角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第
8、一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)已知1 910，把写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限的角【解】(1)选D.法一：取220，则110为第二象限角；再取580，则290为第四象限角法二：因为是第三象限角，所以k360180k360270(kZ)，所以k18090k180135(kZ)当k2n(nZ)时，n36090n360135(nZ)，所以是第二象限角；当k2n1(nZ)时，n360270n360315(nZ)，所以是第四象限角(2)法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：1 9103606250，所以2506360，它是第三象限的角法二：设k360(kZ)，则1
9、910k360(kZ)，令01 910k360360，解得6k5，kZ.所以k的最大整数解为k6，求出相应的250，于是2506360，它是第三象限的角在本例(2)中，写出与的终边互为反向延长线的角，并指出它是第几象限的角解：当250时，250180k36070(k1)36070k360(其中kk1，kZ)即70n360，nZ，是第一象限的角判断是第几象限角的三个步骤第一步，将写成k360(kZ，0360)的形式第二步，判断的终边所在的象限第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限 2.若角满足45k180，kZ，则角的终边落在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限
10、D第三或第四象限解析：选A.当k0时，45，此时为第一象限角；当k1时，225，此时是第三象限角，故选A.终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来【解】如图，直线yx过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ由于360720，即36045n180720，nZ，解得n，nZ.所以n2，1，0，1，2，3.所以S中适合不等式360
11、720的元素是452180315，451180135，45018045，451180225，452180405，453180585. (1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：在直角坐标系中画出该直线；在0360范围内找出满足条件的角；写出满足条件的角的集合，并注意化简(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式组，确定出n的取值，再逐一代入计算 3.已知角的终边在直线yx上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)如图，直线yx过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0360范围内终边在直线yx上的角有两个：135，315
12、.因此，终边在直线yx上的角的集合S|135k360，kZ|315k360，kZ|1352k180，kZ|135(2k1)180，kZ|135n180，nZ(2)由于360720，即360135n180720，nZ.解得n，nZ.所以n2，1，0，1，2，3.所以S中适合不等式360720的元素为：1352180225；135118045；1350180135；1351180315；1352180495；1353180675.区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合【解】(1)由题图(1)可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1
13、终边相同的角有60角，与l2终边相同的角有310角所以题图(1)阴影部分中角的集合为S|60k360310k360，kZ(2)由题图(2)知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1|45k36090k360，kZ第三象限内阴影部分中角的集合为S2|225k360270k360，kZ所以所求阴影部分中角的集合为SS1S2|452k180902k180，kZ|45(2k1)18090(2k1)180，kZ|45n18090n180，nZ(3)由题图(3)知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有30角，与l1终边相同的角有30角所以题图(3)阴影部分中角的集合为S|30
14、k36030k360，kZ区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360到360范围内的角和，写出最简区间x|x(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应的角，加上k360(kZ) 4.已知集合A|30k18090k180，kZ，B|45k36045k360，kZ(1)试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；(2)求AB.解：(1)如图所示：集合A中的角的终边在阴影()内，集合B中的角的终边在阴影()内(2)集合AB中的角的终边在阴影()和()的公共部分内，所
15、以AB|30k36045k360，kZ易错警示因未能正确理解象限角而出错已知是第三象限角，则是第几象限角？解因为是第三象限角，所以180k360270k360(kZ)，所以60k12090k120(kZ)当k3n(nZ)时，60n36090n360(nZ)，所以是第一象限的角；当k3n1(nZ)时，180n360210n360(nZ)，所以是第三象限的角；当k3n2(nZ)时，300n360330n360(nZ)，所以是第四象限的角所以是第一、三、四象限的角 (1)仅以180270表示第三象限角是出错的主要原因(2)分类讨论：已知角所在的象限，要求(nN)所在的象限，应把角写成k360k360
16、(kZ)的形式，再求出kk(kZ，nN)，分别取k0，1，2，n1，即可确定所在的象限(3)几何法(八卦图法)几何法判定，角的终边所在象限的具体步骤如下：先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，直至填充所有区域，最后由原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为终边所在象限.1下列现象不是周期现象的是()A挂在弹簧下方做上下振动的小球B游乐场中摩天轮的运行C抛一枚骰子，向上的数字是奇数D太阳的东升西落解析：选C.A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象2下面各组角中，终边相同的是()A390，690B330，75
17、0C480，420 D3 000，840解析：选B.因为33036030，75072030，所以330与750终边相同3从13：00到14：00，时针转过的角度为_，分针转过的角度为_解析：经过1小时，时针顺时针转过了30，分针顺时针转过了360.答案：303604在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650.解：(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角, A基础达标1下列说法正确的是(
18、)A终边相同的角都相等B钝角比第三象限角小C第一象限角都是锐角 D锐角都是第一象限角解析：选D.终边相同的角相差360的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如135是第三象限角，显然135比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误2某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白的顺序摆放，那么第2 016盆花的颜色为()A红 B黄C紫 D白解析：选D.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 0164504，所以第
19、2 016盆花为白色3集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB等于()A36，54 B126，144C126，36，54，144 D126，54解析：选C.令k1，0，1，2，则A，B的公共元素有126，36，54，144.4终边与坐标轴重合的角的集合是()A|k360，kZB|k18090，kZC|k180，kZD|k90，kZ解析：选D.终边落在x轴上的角的集合为S1|k180，kZ，终边落在y轴上的角的集合为S2|90k180，kZ，因此，终边落在坐标轴上的角的集合为SS1S2|k90，kZ5如果角与角45的终边重合，角与角45的终边重合，那么角与角的关系为()A0B90C2k
20、180(kZ)D2k18090(kZ)解析：选D.由条件知45k1360(k1Z)，45k2360(k2Z)将两式相减消去，得(k1k2)36090，即2k18090(kZ)6今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_，第50天是星期_解析：每周有7天，27376，故27天后的那一天是星期一；50771，故第50天是星期二答案：一二7若角与角终边相同，则_解析：根据终边相同的角的定义，可知k360(kZ)答案：k360(kZ)8有一个小于360的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角为_解析：由题意知，6k360，kZ，所以k60，kZ.又因为是小于360的正角，所以满
21、足条件的角的值为60，120，180，240，300.答案：60，120，180，240，3009如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出95012是否是该集合中的角解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k360k360125，kZ，所求集合为|k360k360125，kZ，因为95012336012948，所以95012不是该集合中的角10已知角的终边在直线xy0上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)因为角的终边在直线xy0上，且直线xy0的倾斜角为60，所以角的集合S|60k180，kZ(2)在S|60k180，kZ中，取k2，得300，取k1，
22、得120，取k0，得60，取k1，得240，取k2，得420，取k3，得600.所以S中适合不等式360720的元素分别是300，120，60，240，420，600.B能力提升11已知角2的终边在x轴的上方，那么是()A第一象限角 B第一、二象限角C第一、三象限角 D第一、四象限角解析：选C.由题意知k3602180k360(kZ)，故k18090k180(kZ)，按照k的奇偶性进行讨论当k2n(nZ)时，n36090n360(nZ)，所以在第一象限；当k2n1(nZ)时，180n360270n360(nZ)，所以在第三象限故在第一或第三象限12如图，终边落在OA的位置上的角的集合是_；终边
23、落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是_解析：终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ；终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ(或|45k360，kZ)，取k0，1，得315，45，所求的集合是45，315答案：|120k360，kZ45，31513已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解：由题意可知，280k360，kZ，因为，都是锐角，所以0180.取k1，得80.因为670k360，kZ.因为，都是锐角，所以9090.取k2，得50.由，得15，65.14.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，AOx45.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转已知点P在1 s内转过的角度为(0180)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角并判定其终边所在的象限解：由题意，得144545k360，kZ，则，kZ.又180245270，即67.5112.5，则67.5112.5，kZ，所以k3或k4.故或.易知090，90180，故角的终边在第一或第二象限
