1、2017-2018学年南大奥宇学校第二次质量调查-文数一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，i为虚数单位，则z1z2=（）A. 1-2iB. 5iC. -5D. 52. 设等差数列an的公差d0，a1=2d，若ak是a1与a2k+7的等比中项，则k=（）A. 2B. 3C. 5D. 83. 下列命题错误的是（）A. “若xa且xb，则x2-（a+b）x+ab0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2-（a+b）x+ab=0”B. 若pq为假命题，则p，q均为假命题C. 命题“x0（0， +）lnx0=x0-1”的否定是“x
2、（0，+），lnxx-1D. “x2”是“”的充分不必要条件4. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（） A. 9B. C. D. 5. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=8，S8=20，则a9+a10+a11+a12=（）A. 18B. 17C. 16D. 156. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左
3、平行移动个单位长度7. 已知sin（+）=4cos，则2sin2-sincos+cos2的值等于（）A. B. C. D. 8. 在数列an中，a1=4，a2=10，若log3（an-1）为等差数列，且Tn=+等于（）A. （3n-1）B. （1-）C. （1-）D. （3n+1-1）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设A=x|x2-8x+15=0，B=x|ax-1=0，若BA，则实数a组成的集合C= _ 10. 等比数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a1，S2，5成等差数列，则数列an的公比q= _ 11. 在等比数列an中，已知，则an的前10项和S10= _ 12.
4、在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，BAD=60，E是CD的中点，则= _ 13. 在ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA-cos（）的取值范围为_ 14. 己知ABC内一点P满足，过点P的直线分别交边AB、AC于M、N两点，若，则+的最小值为 _ 三、解答题（本大题共6小题，15-18每题13分，19、20每题14分，共80.0分）15. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA=4bsinB，ac=（a2-b2-c2） （）求cosA的值； （）求sin（2B-A）的值16. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每
5、次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17. 如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面BCC
6、1B1，E为棱CC1的中点，A1B与AB1交于点O若AC=CC1=2BC=2，ACC1=CBB1=60 （）证明：直线OE平面ABC；（）证明：平面ABE平面AB1E； （）求直线A1B与平面ABE所成角的正弦值18. 已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN+），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4 （）求an和bn的通项公式； （）求数列a2nb2n-1的前n项和（nN+）19. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA平面ABC，ABBC，且AB=BC （1）求证：平面BED平面PAC； （
7、2）求二面角F-DE-B的大小； （3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值20. 已知数列an中，a1=a，a2=2，Sn是数列an的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），nN* （）求a的值； （）求数列an的通项公式； （）若Tn是数列bn的前n项和，且对一切nN*都成立，求实数m取值范围2017-2018学年南大奥宇学校第二次质量调查-文数【答案】1. C2. C3. B4. C5. C6. B7. D8. B9. 10. 211. 12. -13. （1，214. 15. （）解：由，得asinB=bsinA， 又asinA=4bsinB，得4bsinB=asin
8、A， 两式作比得：，a=2b 由，得， 由余弦定理，得； （）解：由（），可得，代入asinA=4bsinB，得 由（）知，A为钝角，则B为锐角， 于是， 故16. （）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y 考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线 为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大 又x，y满足约束条件， 由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大 解方程组，得点M的坐标为（6，3） 电视台每周播出甲连续剧6次、
9、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多17. 解：（）取BB1的中点F，连结OF，EF E，O分别为CC1，BA1的中点， OFAB，EFBC， OF平面ABC，EF平面ABC，AB平面ABC，BC平面ABC， OF平面ABC，EF平面ABC， 又OF平面OEF，EF平面OEF，OFEF=F， 平面OEF平面ABC，OE平面OEF， 直线OE平面ABC （）AC=2CE=2，ACC1=60， AECC1， 平面ACC1A1平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1=CC1，AE平面ACC1A1， AE平面BCC1B1， AEBE BC=CE=EC1=C1B1=1，CBB1=60， CEB=
10、30，C1EB1=60， BEB1=90，即BEEB1 又AE平面AB1E，B1E平面AB1E，AEB1E=E， BE平面AB1E，BE平面ABE， 平面ABE平面AB1E （）作OMAE，M为垂足，连结BM 由（）知OM平面ABE， OBM即为直线A1B与平面ABE所成角 OMAE，EB1AE， OMEB1，又O为AB1的中点， OM=EB1=，EM=AE=， BM=，从而BO=2， sinOBM=，即直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为18. 解：（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2-6=0 又
11、因为q0，解得q=2所以，bn=2n 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8 由S11=11b4，可得a1+5d=16， 联立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2 所以，数列an的通项公式为an=3n-2，数列bn的通项公式为bn=2n （II）设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn， 由a2n=6n-2，b2n-1=4n，有a2nb2n-1=（3n-1）4n， 故Tn=24+542+843+（3n-1）4n， 4Tn=242+543+844+（3n-1）4n+1， 上述两式相减，得-3Tn=24+342+343+34n-（3n-1）4n+1 =-（3n-2）4n+1-8 得Tn=
12、 所以，数列a2nb2n-1的前n项和为19. 证明：（1）PA平面ABC，BE平面ABC， PABE AB=BC，E为AC的中点， BEAC， 又PA平面PAC，AC平面PAC，PAAC=A， BE平面PAC，又BE平面BED， 平面BED平面PAC （2）D，E是PC，AC的中点， DEPA，又PA平面ABC， DE平面ABC，EF平面ABC，BE平面ABC， DEEF，DEBE FEB为二面角F-DE-B的平面角 E，F分别是AC，AB的中点，AB=AC， EF=BC=AB=BF，EFBC 又ABBC，BFEF， BEF为等腰直角三角形，FEB=45 二面角F-DE-B为45 （3）PA
13、平面ABC，BC平面ABC， PABC，又BCAB，PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A， BC平面PAB CPB为直线PC与平面PAB所成的角 PA=6，PE=3，又DF=5，EF=4 AB=BC=8 PB=10 tanCPB=20. 解：（）2Sn=n（3a1+an），S1=a1=a， 2a=4a， 所以a=0.（3分） （）由（）知 ， （n-1）an+1=nan 当n2时， ， an=2（n-1），n2 a1=a=0满足上式， an=2（n-1），nN*.（6分） （）当n2时，.（7分） 又b1=2， Tn=b1+b2+bn=.（9分） = 所以.（10分） 因为对一切nN*
14、都成立， 即对一切nN*都成立 .（12分） ，当且仅当，即n=1时等号成立 .（14分）【解析】1. 解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i， z2=-1+2i z1z2=（1+2i）（-1+2i）=-5 故选：C 利用复数的运算法则及几何意义即可求出答案 本题考查了复数的运算法则及几何意义，属于基础题2. 解：等差数列an的公差d0，a1=2d， ak是a1与a2k+7的等比中项， =a1a1+（2k+6）d，且a1=2d， 解得k=5或k=-3（舍） 故选：C 利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出k 本题考查等差数列的项数k的求法，是基础题，解题时要认真审
15、题，注意等差数列的性质的合理运用3. 解：A“若xa且xb，则x2-（a+b）x+ab0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2-（a+b）x+ab=0”，正确， B若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误， C命题“x0（0，+）lnx0=x0-1”的否定是“x（0，+），lnxx-1，正确， D由得x2或x0，即“x2”是“”的充分不必要条件，正确， 故选：B A根据否命题的定义进行判断 B根据复合命题的真假关系进行判断 C根据含有量词的命题的否定进行判断 D根据充分条件和必要条件的定义进行判断 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大4. 解：由三视图知几何体的
16、上部为一球体，且球的直径为2； 下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3， 几何体的体积V=V球+V圆柱-V圆锥=+123-3= 故选C 由三视图知几何体的上部为球，且球的直径为2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3，再根据体积V=V球+V圆柱-V圆锥计算 本题考查了由三视图求组合体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断相关几何量的数据5. 解：设等差数列an的前n项和为Sn， S4，S8-S4，S12-S8成等差数列， 即8，12，S12-S8成等差数列， 故S12-S8=16， 即a9+a10+a11+a12=16， 故
17、选C 易知S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，从而可得S12-S8=16 本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题6. 解：要得到函数=cos（x-）的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2倍， 再再向右平行移动个单位长度，即可， 故选：B 利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论 本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7. 解：sin（+）=4cos， 可得：（sin+cos）=4cos，整理可得：tan=3， 2sin2-sincos+cos2= 故选：D 由已知利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan的值，进而
18、利用同角三角函数基本关系式化简所求即可代入计算求值得解 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题8. 解：log3（an-1）为等差数列， 2log3（an-1）=log3（an-1-1）+log3（an+1-1）（n2）， 即（n2）， （n2）， 则数列an-1为等比数列 首项为a1-1=4-1=3，公比为 则 则Tn=+ = = 故选：B 由log3（an-1）为等差数列得到数列an-1为等比数列，求出等比数列的通项公式后进一步得到，然后利用等比数列的前n项和得答案 本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题9.
19、解：A=x|x2-8x+15=0， A=3，5 又B=x|ax-1=0， B=时，a=0，显然BA B时，B=，由于BA 故答案为： 本题的关键是由A=x|x2-8x+15=0求出A的元素，再由B=x|ax-1=0，若BA，求出a值，注意空集的情况 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征10. 解：a1=1，a1，S2，5成等差数列，2S2=a1+5， 2（1+q）=1+5，解得q=2 故答案为：2 由a1，S2，5成等差数列，可得2S2=a1+5，即可得出 本题考查了等差数列与等比数列的通项公
20、式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 解：在等比数列an中， =4（）， 解得q=2， an的前10项和S10= 故答案为： 由等比数列通项公式得公比q=2，由此能求出an的前10项和S10 本题考查等比数列前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用12. 解：由题意可得=21cos60=1， =（）（+）=（）（-）=-+ =-4+1+1=-， 故答案为- 由条件利用两个向量的数量积的定义求得=1，再根据 =（）（-），运算求得结果 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题13. 解：在ABC中，角A，B
21、，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC， 由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC， sinA0， sinC=cosC， C=， B=-A，0A， sinA-cos（B+）=sinA-cos（-A+） =sinA+cosA=2sin（A+）， A+，可得：sin（A+）1， sinA-cos（）=2sin（A+）（1，2 故答案为：（1，2 由题意和正弦定理可得B=-A，0A，进而由三角函数公式可得sinA-cos（B+）=2sin（A+），利用正弦函数的性质即可得解 本题考查三角函数的最值，涉及正弦定理和三角函数公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题1
22、4. 解：如图， 由及题意得，0，0，且，带入得： ； 又M，P，N三点共线； ，且，0； = =，当且仅当，即=2=时取“=”； +的最小值为 故答案为： 可画出图形，根据题意可知，0，从而可由可得，从而便可得出，这样由M，P，N三点共线便可得出，从而=，而由基本不等式即可求出的最小值，进而便可求出+的最小值 考查向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，A，B，C三点共线的充要条件：，且x+y=1，以及基本不等式在求最值中的应用，在应用基本不等式时，注意判断等号能否取到15. （）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA
23、的值； （）由（）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B-A）的值 本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题16. （）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； （）写出总收视人次z=60x+25y化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题17. （I）取BB1的中点F，连结O
24、F，EF利用中位线定理得出OFAB，EFBC，从而平面OEF平面ABC，于是直线OE平面ABC； （II）由等边三角形性质得出AECC1，由面面垂直的性质可得AE平面BCC1B1，于是AEBE，根据平面几何知识可得BEB1E，于是BE平面AB1E，从而平面ABE平面AB1E； （III）作OMAE，M为垂足，则可证OM平面ABE从而OBM即为直线A1B与平面ABE所成角，利用勾股定理计算OM，BM，OB，从而得出sinOBM 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，空间角的作法与计算，属于中档题18. （）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解an和bn的通项公式； （）化简数
25、列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19. （1）通过证明BE平面PAC得出平面BED平面PAC； （2）由DEPA得出DE平面ABC，故DEEF，DEBE，于是FEB为所求二面角的平面角，根据BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数； （3）证明BC平面PAB得出CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB即可得出tanCPB 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题20. （）由2Sn=n（3a1+an），S1=a1=a，能求出a=0 （）由（）知 ，故所以由此能求出an （）当n2时，由b1=2，知Tn=，由此能够求出对一切nN*都成立时，实数m的取值范围 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化
