1、第三节 平面向量的数量积 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零 向量a和b,作 =a，=b,则_就 是a与b的夹角 设 是a与b的 夹角,则 的 取值范围是_ _ =0或=180_ _,_ ab【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)向量的夹角:OAOBAOB 0 180 a b=90(2)平面向量的数量积:定义 设两个非零向量a,b的夹角为,则数量 _叫做a与b的数量积,记作ab投影 _叫做向量a在b方向上的投影,_叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影_的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos (3)数量
2、积的性质:设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则 ea=ae=_.cos=_.ab_.a ba b|a|cos|a|b|(4)数量积的运算律:交换律:ab=ba.数乘结合律:(a)b=_=_.分配律:a(b+c)=_.(ab)a(b)ab+ac(5)平面向量数量积的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则 数量积 ab=_ 模|a|_ 夹角 cos _ 向量垂直的 充要条件 abab=0_ 2211xy121222221122x xy yxyxyx1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)a与b为
3、两非零向量,则ab_.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa=_或者|a|=_,0a=_.a aab=0|a|2 0(3)平面向量数量积运算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b2 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:基底法;坐标法.(2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方.横纵坐标分别乘,相加求和积充当.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有
4、负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若ab0,则向量a,b的夹角为钝角.()【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负.(2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到ab.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错误.当ab=-|a|b|时,a与b的夹角为.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,则a与b的夹 角=.【解析】因为ab=|a|b|cos,所以
5、cos=又因为0180,故=30.答案:30 34 332 42，a ba b(2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=.【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),若互相垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=.答案:1555553.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014新课标全国卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解ab.【解析】选A.因为|a+b|=,
6、|a-b|=,所以a2+b2+2ab=10,a2+b2-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.106106(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.【解题提示】先求出c的坐标,再代入向量夹角公式,解方程即可求出m的值.【解析】由于a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),又由于c与a的夹角等于c与b的夹角,即cos=cos,也就是 即得 解得m=2.答案:2|，a cb ca cb cm42 2m24 m42 2m2520，(3)(2015青岛模拟)已知|a|=2,向量a与b
7、的夹角是 ,则a在b上 的投影是 .【解析】a在b上的投影是|a|cos =答案:-34 34 22()2.2 2考点1 平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2015湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a,=b,=c,则ab+bc+ca=.(2)(2015大庆模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动 点.则 的值为 ,的最大值为 .BCCAABDE DCDE CB【解题提示】(1)利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小.(2)结合已知条件建系,利用坐标求解.【规范解答】(1)如图,得a与b,b与c,c与a的夹角都是120,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=11
8、cos120+11 cos120+11cos120 答案:-13()3.22 32(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设 E(t,0),0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1),=(t,-1),=(0,-1),所以 =1.又因为 =(1,0),所以 =t1.答案:1 1 DECBDE DCDE CBDC【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?方法一:选取 作为基底,设 0t1,则 =0+1=1.=t1.答案:1 1 AB,ADAEtAB，DE CBtABADAD2tAB ADADDE DCtABAD AB方法二:利用几何意义可知=1.设 则=|t|1
9、.答案:1 1 DE CBDE DADE DA cos EDADE cos EDADAAEt AB，DE DCDE ABDE 1 cos AEDAEt AB【易错警示】解答本例题(1)易出现如下错误 在解题过程中,只看到ABC是等边三角形,就误认为a与b,b与c,a与c的夹角均为60从而错解.【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求 上的投影.【解析】方法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F,由投影的定义知,上的投影是 .方法二:如图,向量 的夹角是EDC,所以 上的投影是|cosEDC=DEDC在DEDC在12DEDC在DEDC在DE11121.42114【规律方法】向量数量积的两
10、种计算方法(1)当已知向量的模和夹角 时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.【变式训练】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.【加固训练】1.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,
11、整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得 t+1-t=0,所以t=2.答案:2 122.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =.【解析】以A为原点,以AB,AD为x,y轴建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)故 =(1,2),=(-2,2).故 =1(-2)+22=2.答案:2 AE BDAEBDAE BD考点2 平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014山东高考)在ABC中,已知 =tanA,当A=时,ABC的面积为 .(2)已知向量 与 的夹角为120,且|=3,|=2.若 =+,且 试求实数 的值.
12、AB AC6ABACABACABACAPBC，AP【解题提示】(1)由向量数量积的定义得出两边之积后再利用面积公式求面积.(2)利用 作基底,利用已知垂直关系得到的方程求解.AB AC，【规范解答】(1)由已知及平面向量数量积的定义可得 所以 所以SABC=答案:AB AC|AB|AC|cos Atan A，tantan A26|AB|AC|cos A3cos 6，1121|AB|AC|sin Asin.2236616(2)因为 所以 =0,即=故(-1)32(-)+4-9=0,解得=.BCACAB,APABAC.APBC,又AP BC(ABAC)ACAB22(1)AB ACACAB0,127
13、12【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得 cos=(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关 角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向 量不共线时两向量的夹角为钝角.a ba b【变式训练】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则a与b的夹角是()【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a与b的夹角的余 弦值为 则a与b的夹角
14、是 .242A.B.C.D.333341,82 b ab a23【加固训练】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .【解析】由|a|=|a+2b|,设a与b的夹角为,等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos=答案:-221.33 a bba bb132.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),则x=.【解析】由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为a(a-b),所以a(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x
15、=2.答案:0或2 考点3 平面向量数量积的应用 知考情 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值,是高考考查数量积的一个重要考向,常与三角、平面几何、解析几何等知识相联系.以选择题、填空题为主,是中低档题.明角度 命题角度1:根据向量数量积求模或模的范围【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|+|的最大值 是 .3CDOAOBOD【解题提示】把 拆分为 +,再利用|a+b|a|+|b|求解.【解析】答案:CDODOC|OA|OB|OD|OAOBOCCD|OAOBOC|CD|71.71命题角度2:利用平面
16、向量数量积求参数的值【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若 则+=()2AE AF1 CE CF3，1257A.B.C.D.23612【规范解答】选C.方法一:因为BAD=120,所以 因为BE=BC,DF=DC,所以 因为 =1,所以 =1,即2+2-=同理可得-=-,+得+=.AB AD|AB|AD|cos 1202.AEABAD AFABAD.，AE AF(ABAD)(ABAD)322356方法二:建系如图:易知A(0,-1),B(-,0),C(0,1),D(,0),由 得E(-,).得F(-,)
17、.故 =(-1),+1),=(1-),+1),=(-1),-1),33BEBC,33DFDC 33AE3AF3CE3 =(1-),-1),所以 =3(-+-1)+1=1,即-2+4+4=3.所以2(+)-=.=3(-u-1+)+-+1=2(+)-2-2=-,即+-u=.-得+=CF3AE AF32CE CF2323325.236悟技法 根据数量积求模或参数的值(范围)的一般思路(1)利用数量积求模:通常利用已知找准基底或坐标,利用基底或坐标运算,有时需用化归思想,转化为其他问题求解.(2)利用数量积求参数的值(范围):通常有两种运算法,一是基底法,二是坐标法,找准解题目标,利用已知条件列出方程
18、或方程组求解即可.通一类 1.(2015昆明模拟)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 R,若 则=()APAB AQ(1)AC，3BQ CP2 ，112A.B.2211032 2C.D.22【解析】选A.由题意得 又因为 且|=|=2,=60,BQAQAB(1)ACAB，CPAPACABAC.3BQ CP2 ，ABACAB,AC =2,所以 即 所以4+2(2-1)+4(1-)=,解得=.AB ACAB AC cos 603BQ CP(1)ACAB(ABAC)2，2223AB(1)AB AC(1)AC2 ，32122.(2013湖南高考)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满
19、足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A.2 1 B.2C.21 D.22【解析】方法一:选C.条件|c-a-b|=1可以理解成如图的情况 而|a+b|=,向量c的终点在单位圆上,故|c|的最大值为 +1.方法二:选C.由题意,得|a|=|b|=1,ab=0,所以|a+b|=,因为|c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.222设c与a+b的夹角为,则|c|2-2|c|cos+2=1,即|c|2+1=2|c|cos2|c|,|c|2-2|c|+10,解得 -1|c|+1.故|c|的最大值为 +1.22222223.(2013浙江高考)设e1,e2为
20、单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为 ,则 的最大值等于 .【解析】6xb22222221212xxxxy2xyxye ebee222222xxxy3xyxy2xycos 6，当x=0时,=0;当x0时,令 =t,则 4,所以 的最大值为2.答案:2 xb2222x1yy13xx，byx2222x11t3t131(t)24bxb创新体验4 平面向量数量积中的创新问题【创新点拨】1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题通常以数量积运算为核心,通过数形结合,转化化归等途径,解决与几何有关的问题,或以向量自身为背景,解决有关模、夹角等问题.2.命
21、题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等.【新题快递】1.(2014安徽高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,点Q满足 =(a+b).曲线C=P|=acos+bsin,0 2,区域=P|0r|R,rR.若C 为两段分离 的曲线,则()A.1rR3 B.1r3R C.r1R3 D.1r3R OQ2OPPQ【解题提示】设向量a=(1,0),b=(0,1),利用数形结合判断.【解析】选A.设a=(1,0),b=(0,1),则 画出图象如图所示,因为C为单位圆,区域为圆环,|OQ|=2,所以1rR0,a与b的夹角(0,),且 都 在集合|nZ中,则
22、=(),.4和a bb aa b135A.B.1 C.D.222n2【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积,可知 因为(0,),所以 cos0,所以0 1,所以0 cos1,即 (0,1).又 所以 =,由得,=cos2(,1),所以 ()1,所以1 2,所以 =.babab ab an|nZ,2b a12()()a b b a121212a ba ba b323.(2015潍坊模拟)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是()A.若a与b共线,则ab=0 B.ab=baC.对任意的 R,有(a)b=(ab)D
23、.(ab)2+(ab)2=a2b2【解析】选B.对于A,由a与b共线,得mq-np=0,即ab=0,故A正确;对于B,由新定义知,ab=mq-np,而ba=np-mq,所以abba,故B 错误;对于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab),故C正确;对于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.【备考指导】1.准确转化:解决数量积中创新问题时,一定要读懂题目的本质含义.紧扣题目所给条件,结合题目要求恰当转化,切忌同已有的概念或定义混淆.2.方法选取:对于创新问题,要恰当选取解题方法,如数形结合,等价转化,特殊值,逐一排除等方法,并结合数量积性质求解.
