1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D. 1.B 1.依题意作图,平移CD至AD,作AEl,且DEl,连结BE,BD,则DE面BAE,则EAB=60,DAE=45,设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA=.在RtBED中,BD=.cosBAD=,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2. (2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1
2、l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定 2.D 2.由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项B、C,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n 3.B 3.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n,D选项也可以n或n与斜交.根据线面垂直的性质可知选B.4.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，
3、6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）（A）1 （B） （C） （D）3 4. A 4. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接,5.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 5) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若则B若则C若则D若则 5. D 5.A选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为，时，都是可能的；C选项不正确，因为，时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的故选D6. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，9) 已知正方体中，线段上（不包括端点）各有一点，且，下列说法中，不正确的是
4、（ ）四点共面B. 直线与平面所成的角为定值C. D. 设二面角的大小为，则的最小值为 6. D 6.正方体中，线段，上（不包含端点）各有一点、，且，如图，当连线与平行时，、四点共面，所以错误；直线与平面所成的角为定制，显然不正确，在平面的射影是，点如果是定点，直线与平面所成的角是变值，所以不正确；当点在的中点时，不妨设棱长为2，所以是钝角，所以不正确，故错误；对于选项，作于，过作于，令，则最小值时最大，此时点在，所以选项正确.故选D.7. (2014广西桂林中学高三2月月考，4) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 7. D 7.
5、 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若，则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误；若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C) 错误；若，则直线，故（D) 正确. 选D.8. (2014周宁、政和一中第四次联考，7) 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若，且则； 若，且. 则；若，则；若且, 则.其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4 8. B 8. 正确；直线或，错误；错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；正确. 故真正确的是，共2个.9. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，5) 已知，是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是： (A
6、) 若，则 (B) 若，则 (C) 若，则 (D) 若与相交，与相交，则，一定不相交（ ） 9. C 9. 对(A) 直线、还可能相交或异面；故 (A) 是假命题；对 (B) 垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B) 时假命题；对 (C) 真命题；对 (D) 直线、可能相交、平行或异面.故真命题是(C).10. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 7) 已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是（ ）A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. C 10. 对选项A，与平行或相交；对选项B，与平行或相交；选项C正确；选项D，与平行或相交.故选C.
7、11. (2014兰州高三第一次诊断考试, 6) 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：若；若；如果相交；若其中正确的命题是 （ ）ABCD 11. D 11. 由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；当直线，平行时，与不一定平行，是假命题；直线与平面可能平行，假命题；真命题. 故正确的命题是.12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，13）如图, 正四棱锥中， 是边的中点，动点在四棱锥的表面上运动，且总保持，点的轨迹所围成的图形的面积为, 若以的方向为主视方向，则四棱锥的主视图的面积是 . 12. 4 12. 由题意可得点P在过点E且与直线AC垂直的平面
8、上，取线段PC、CD的中点分别为F、G，并设GE与AC交于点H. 易得直线AC平面EFG，所以点P的轨迹即为EFG，因为AB=2，所以GE=，点的轨迹所围成的图形的面积为，所以可得FH=2，根据勾股定理可得GF=，所以四棱锥的侧棱长为. 所以四棱锥的主视图是以腰长为底边长为2的等腰三角形，其面积为4.13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，15）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 . 13. 13. 设截面圆的半径为r. 球心即为正方体的中心，且球O的半径为. 由正方体的性质可知，点O到平面ACD1的距离为，则，解得，所以截面圆的面积为.14. (2014陕西
9、宝鸡高三质量检测(一), 7) 关于直线及平面，下列命题中正确的是（ ） A . 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则 14. C 14. 对A，直线可能平行、相交或异面；对B，因为直线不一定在平面内，直线可能为异面直线，则B错误；对C，直线与平面垂直，需直线与平面内的两条相交直线垂直，则C正确；对D，同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，则D错误.15.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体中，平面，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。(1) 证明: 平面；(2) 若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。 15.查看解析 1
10、5. 法一：(1) 如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面；(2) 过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则，。 (1) 设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；(2) 由(1) ，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故。16. (2014山西太原高三模拟考试（一），19) 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO平面A1
11、B1C1. 已知BCA=90，AA1=AC=BC=2. （I）求证：AB1 AlC；（）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值. 16.查看解析 16.17. (2014福州高中毕业班质量检测, 18) 如图，直角梯形中，=4，点、分别是、的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面（）当最小时，求证：；（）当时，求二面角平面角的余弦值. 17.查看解析 17.() 证明：点、分别是、的中点, ，又，平面平面，平面， 又，如图建立空间坐标系翻折前, 连结交于点，此时点使得最小., 又则，. （5分）() 解法一：设,平面, 点到平面的距离为即为点到平面的距离.，=，又=, =,即，（8分）设平面
12、的法向量为, G(0,1, 0),(2,2, 2),则 , 即取, 则, , ，平面BCG的一个法向量为，则cos =，由于所求二面角的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为. （13分）() 解法二: 由解法一得, 过点D作, 垂足, 过点作延长线的垂线垂足，连接. 平面平面, 平面，,所以就是所求的二面角的平面角. （9分）由于, 在中,又，在中，所以此二面角平面角的余弦值为. （13分）18. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），19) 如图，在三棱锥中，面，且，为的中点，在上，且. （）求证：；（）求二面角的余弦值. 18.查看解析 18.（）不妨设，又，在中，则
13、=，所以, 又, ,且也为等腰三角形.（法一）取中点，连接、，面，所以平面，又平面，. （6分）（法二），则，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，, , 则，所以. （6分）（）同（）法二建立空间直角坐标系，可知，面的法向量可取为，（8分）设面的法向量为，则，即，可取，=，故二面角的余弦值为. （12分）19. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，18) 如图，已知正三棱柱各棱长都为, 为线段上的动点. () 试确定；() 若的大小； 19.查看解析 19.解：以原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，设，() 由得，解得，即
14、为的中点.所以时，. （5分）() 当时，点的坐标为，取，则，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量，（8分）所以，所以二面角的大小事. （12分）20.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，19）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，, 点P在底面上的射影为ACD的重心，点M为线段上的点（1）当点M为PB的中点时，求证：PD/平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为时，试确定点M的位置 20.查看解析 20. （1）设AC、BD的交点为I，连结MI，因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD/MI，又MI在平面ACM内，所以PD/平面A
15、CM； 4分（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则, ，6分设，则,，设平面CBM的法向量为，则且，令则 10分所以21.(2014湖北武汉高三2月调研测试，) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5（）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；（）在线段BC1上确定一点D，使得ADA1B，并求的值 21.查看解析 21.解：（）AA1C1C为正方形，AA1AC平面ABC平面AA1C1C，AA1平面ABC，AA1AC，AA1AB由已知AB3，BC5，AC4，ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0) ，A1(0，0，4) ，B1(0，3，4) ，C1(4，0，4) ，
