1、天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A B C D2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值是（ ）A-2 B2 C-6 D63.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（ ）A1 B2 C3 D4 4.在的二项展开式中，项的系数为（ ）A540 B-540 C.20 D-205.已知是两条互相垂直的直线，是平面，则是的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C.充要 D既不充分也不必要6. 已知双曲线，为双曲线的左右顶
2、点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A B C. D7.设实数分别满足，则的大小关系为（ ）A B C. D8.若函数与的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.设为序数单位，则 10.已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点横坐标为6，则 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 12.设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则 13.函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形
3、的面积等于 14.已知是外接圆的圆心，若，则 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数的图象过点（1）求的值；（）在中，角的对边分别是若求的取值范围.16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个
4、位为叶）（）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.17. 如图，直三棱柱中，是棱上的点，（）求证：为中点；（）求直线与平面所成角正弦值大小；（）在边界及内部是否存在点使得面存在，说明位置，不存在，说明理由18. 椭圆的左、右焦点分别为，点满足.（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于、两点，若直线与圆相交于、两点，且，求椭圆的方程.19. 记，对数列和的子集若，定义，若
5、定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时.（）求数列的通项公式；（）对任意正整数若求证：；（）对任意正整数若，记数列的前项和为，求证：20. 已知函数.（）若在上的最大值为求实数的值；（）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: BDBBD 6-8: ACC 二、填空题9. 10. 4 11. 12. 3 13. 14. 三、解答题15.（）由因为点在函数的图象上，所以.（）因为所以所以即又因为所以所以又因为所以所以；
6、，所以的取值范围是16.（）设这天空气质量为1级，的可能值为0，1，2，3，其分布列为： 0123（）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为则，（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17.（1）.根据题意以所在直线为轴为中点.（2）.设面法向量，设所求角正弦值为（3）设不存在18.解：（1）设、因为，得（舍），或所以（2）由（1）知，椭圆方程的方程为.两点的坐标满足方程组，消去并整理，得解得得方程组的解，.不妨设，则.于是.圆心到直线的距离.因为，所以，整理得得（舍），或所以椭圆方程为19.（1）由已知得，于是当时， 又故，即.所以数列的通项
7、公式为.（2）因为，所以.因此，.（3）法二：20.（1）由，得.令，得或.函数在上的变化情况如下表：0-00-单调递减极小值单调递增极大值单调递减.即最大值为.（2）由得.，且等号不能同时取得， ，即.恒成立，即.令，则，当时， ，从而.在区间上为增函数， .（3）由条件.假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴的两侧，不妨设，则.是以（是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，.是否存在等价于该方程且是否有根.当时，方程可化为，化简得，此时方程无解；当时，方程为，即.设，显然，当时， ，即在区间上是增函数，的值域是，即.当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.
