1、石景山区2022年高三统一练习数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D. 2. 若复数满足，则 ()A. 1B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A. B. C. D. 4. 设是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，
2、则5. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数的图象大致为（）A. B. C. D. 7. 在等差数列中，设数列的前项和为，则（）A. 12B. 99C. 132D. 1988. 在中，若，则的大小是（）A. B. C. D. 9. “”是“在上恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 设A，B为拋物线C：上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以A，B为切点作抛物线的切线，两条切线交于点则下列结论：点一定在拋物线的准线上；的面积有最大值无最小值其中，正确结论的
3、个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_12. 的展开式中的系数是_.（用数字填写答案）13. 正项数列满足，若，则的值为_14. 设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_15. 已知非空集合A，B满足：，函数对于下列结论：不存在非空集合对，使得为偶函数；存在唯一非空集合对，使得为奇函数；存无穷多非空集合对，使得方程无解其中正确结论的序号为_三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.16. 已知函数只能同时
4、满足下列三个条件中的两个：函数的最大值为2；函数的图象可由的图象平移得到；函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求面积的最大值17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；
5、（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）18. 如图1，在平面四边形中，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由19. 设函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；当时，求证：（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围20. 已知椭圆C：短轴长等于，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作斜率为的直线，
6、与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称“等比源数列”（1）已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，求证为“等比源数列”【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C【11题答
7、案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】0（答案不唯一）【15题答案】【答案】16【答案】（1）满足，（2）【小问1详解】（1）分析条件知矛盾，矛盾，故满足的条件为，由知，则故【小问2详解】，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立又，故面积最大值为【17题答案】【答案】（1）；（2）；（3）【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高
8、三年级的教师共有（人）（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”，事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，由题意知：，设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，所以故；（3），三组总平均值，新加入的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，【18小问1详解】证明：延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线.证明如下：由平面平面，平面，且平面平面，所以平面，又由，所以平面，因为平面，所以，所以.【小问2详解】解：由（1）知：，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设其中，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又由平
9、面，所以平面的一个法向量为，则，解得，所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.19【小问1详解】解：当时，可得，则，可得曲线在点处的切线方程，即.令，则，当，可得，在单调递减，又因为，所以，即，即，即当时，【小问2详解】解：由函数，可得，令，当时，即，在区间上单调递增，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，由，解得，当时，在区间上恒成立，即，在区间上单调递减，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；综上可得，设使得，当时，单调递减；当时，单调递增，因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.20【小问
10、1详解】解：由椭圆C：的短轴长等于，离心率可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由椭圆的方程，可得右焦点，设直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，所以，则，即，则中垂线的方程为，令，可得，所以，又由，所以（定值）.21【小问1详解】是“等比源数列”，不是“等比源数列”中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列”【小问2详解】不是“等比源数列”假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的（）三项成等比数列，也就是，即，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列综上可得不是“等比源数列”小问3详解】证明：因为等差数列单调递增，所以因为则，且，所以数列中必有一项为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项（），使得成立，即，即成立当，时，上式成立所以中存在成等比数列所以，数列为“等比源数列”
