1、北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2012.1第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数（ ）（A）（B）（C）（D）2若向量，则与共线的向量可以是（ ）（A）（B）（C）（D）3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）4“直线的方程为”是“直线平分圆的周长”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 主视图左视图几何体的俯视图不可能是（ ）（A）（
2、B）（C）（D）6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）7已知，给出下列四个不等式： ； ； ； 其中一定成立的不等式为（ ）（A）、（B）、（C）、（D）、8有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，且，则集合的个数是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9函数的定义域是_.10双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是_11若曲线在原点处的切线方程是，则实数_ 12在中，三个内角，的对边分别为，若，则_13已知是公比为的等比数列，若，则 ；_14设，不等式组 所表示的平面区域是给出下列三个结论： 当时
3、，的面积为； ，使是直角三角形区域； 设点,对于有其中，所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数，.（）求的值； （）求的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级频率（）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（）在（）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.17（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点（）求证：平面； （）求证：平面
4、；（）求三棱锥的体积 18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）写出数列的“衍生数列”；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准
5、2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. D； 6. C ； 7. A； 8. A . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. ； 10.； 11.； 12. ； 13.，； 14. 、.注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） （）解：. 4分（）解：. 8分因为，所以. 9分 当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分16.（本小题满分13
6、分）（）解：由频率分布表得 ，即 . 2分由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 . 4分所以. 5分（）解：由（）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：共计种. 9分记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为共4个. 11分故所求概率为 . 13分17.（本小题满分14分）（）证明：因为是正三棱柱，所以 平面.又 平面，所以 . 3分因为 是正三角形，是的中点，所以 ， 4分所以 平面. 5分（）证明：连结，交于点，连结.由 是正三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 8分因为 平面，平面， 所以
7、 平面. 10分（）解：因为 ， 12分所以 . 14分18.（本小题满分13分） （）解：. 3分当时，从而函数在上单调递增. 4分当时，令，解得，舍去. 5分此时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是.7分（） 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 9分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 10分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，解得，适合. 12分综上，当在上的最大值是时，. 13分19.（本小题满分14分）（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 7分设，线段的中点为.则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 12分综上，的取值范围是. 13分 20.（本小题满分13分）（）解：. 3分（）证明： 因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 8分（）证明：对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 12分同理可证，也成等差数列.从而是等差数列. 13分
