1、7.5直接证明与间接证明1.直接证明综合法分析法定义从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知事实吻合为止.思维过程由因导果执果索因证题步骤P(已知)P1P2PnQ(结论)Q(结论)Q1Q2QnP(已知)文字语言因为，所以或由，得要证，只需证，即证符号语言2.间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法.证明步骤(
2、1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“a
3、b”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()(6)证明不等式最合适的方法是分析法.()2.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是_.(填序号)ac2abb2答案解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，a2abb2.即正确，其余均不正确.3.若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号).ab1；a2b22；a3b33；2.答案解析ab()21，成立.欲证，即证ab22，即
4、20，显然不成立.欲证a2b2(ab)22ab2，即证42ab2，即ab1，由知成立.a3b3(ab)(a2abb2)3a2abb2(ab)23ab43abab，由知，ab不恒成立.欲证2，即证2，即ab1，由知成立.4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为_.答案a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.5.如果abab，则a、b应满足的条件是_.答案a0，b0且ab解析ab(a
5、b)(ab)(ba)()(ab)()2().当a0，b0且ab时，()2()0.故abab成立的条件是a0，b0且ab.题型一综合法的应用例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函数.思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得
6、出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论.(1)证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.(2)解对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数.对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2).f(x)x2(x0,1)是理想函数.对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20
7、,1，x1x21，有f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数.综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数.思维升华用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式.(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.定义：若
8、数列An满足An1A，则称数列An为“平方递推数列”.已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数，证明：数列2an1是“平方递推数列”.证明点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，an12a2an，2an114a4an1(2an1)2，2an1是“平方递推数列”.题型二分析法的应用例2已知m0，a，bR，求证：()2.思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证.思维升华分
9、析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立.通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.已知a，b(0，)，求证：(a3b3)(a2b2).证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，只需证(a3b3)6(a2b2) 6，即证(a3b3)2(a2b2)3，即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b33a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3b3)(a2b2).题型三反证法的应用例
10、3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维启迪(1)先利用SnSn1an(n2)两式相减得an和an1的关系，再求an；(2)用反证法证明.(1)解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12， 两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.又因为pqr，所以rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所
11、以假设不成立，原命题得证.思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：B90.证明假设Ba，bc.，相加得，这与矛盾.故B90不成立，即B0，bn0，所以ab(anbn)2，从而10知q0.下证q1.若q1，则a1logq时，an1a1qn，与(*
12、)矛盾；10分若0qa21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾.12分综上，q1，故ana1(nN*)，所以11，于是b1b22解析要比较与2的大小，只需比较()2与(2)2的大小，只需比较672与854的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，4240，2.2.若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是_.(填序号)lg(1a2)0a2b22(ab1)a23ab2b21，a，b，则a，b的大小关系为_.答案a，即a0，b0，则2的最小值是_. 答案4解析因为22 22( )4.当且仅当且 ，即ab1时，取“”.5.用反证法证明命题“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b
13、中至少有一个能被3整除”时，假设应为_.答案a，b都不能被3整除解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”，故选B.6.已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实数，不等式a1x2b1xc10，a2x2b2xc20的解 集分别为M，N，则“”是“MN”成立的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种).答案既不充分又不必要解析当时，可取a1b1c11，a2b2c21，则M，NR，故D/MN；当MN时，可取a1b1c11，a21，b22，c23，则，即MND/.综上知“”是“MN”成立的既不充分又不
14、必要条件.7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_.答案(5,7)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60b与a0，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_.答案解析当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以有.综上可知.4.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函
15、数，设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；f()f(x)；f(1x)1f(x).则f(1)f()f()f()f()f()的值为_.答案解析由f(1x)1f(x)，令x0，得f(1)1f(0)，因为f(0)0，所以f(1)1.由，令x1，得f()f(1).由，令x，得f()1f()，所以f().再由，令x，得f()f().中再令x，得f()f().又函数f(x)在0,1上为非减函数，0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等
16、实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根.即是函数f(x)的一个零点.(2)假设0，由0x0，知f()0与f()0矛盾，c，又c，c.6.(2013江苏)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和.记bn，nN*，其中c为实数.(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有S
17、mma2am2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1).令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又因为cd10，所以c0.
