1、8.5空间向量及其运算1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推
2、论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz_1_.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律
3、：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b .设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)
4、空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有0.()(6)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件.()2.如图，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示).答案abc解析abc.3.已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_.答案13解析ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213.4.已知2ab(0，5,1
5、0)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.答案120解析(2ab)c2acbc10，又ac4，bc18，又|c|3，|b|12，cosb，c，b，c0，180，b，c120.5.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_.(填序号)2；0；0.答案解析0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面.题型一空间向量的线性运算例1如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可.解()().思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘
6、运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简_；(2)用，表示，则_.答案(1)(2)解析(1).(2).题型二共线定理、共面定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有().思维启迪对于(1)只要证出向量即可；对于(2)只要证出与共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边
7、形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示.证明(1)连结BG，则()，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.故()().思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明(0).(2)证明点共面的方法证明点共面
8、问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyzOC(xyz1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为_.答案平行解析取a，b，c为基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点
9、.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a|2aa可以求线段长；利用cos 可求两条直线所成的角.(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a.MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)
10、(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.思维升华(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算.应该注意的是(0，0，所以cos |cos |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|转化为向量求解.已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与
11、ka2b互相垂直，求实数k的值.解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)方法一kab(k1，k,2).ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.方法二由(1)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，
12、则x，y的值分别为_.易错分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：ab方向相同或相反.解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案1,3温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对
13、应成比例.方法与技巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.失误与防范1.向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即abba，a(bc)abac成立，(ab)ca(bc)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.空间直角坐标系
14、中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是_.答案平行解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点.ABCD.2.已知O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一个基底，则下列结论正确的是_.(填序号)O，A，B，C四点不共线；O，A，B，C四点共面，但不共线；O，A，B，C四点中任意三点不共线；O，A，B，C四点不共面.答案解析，为空间的一个基底，所以，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，共面.3.已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则_.答案1或解析由题意知：解得或1或.4.空间四点A
15、(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)_(填“在”或“不在”)同一平面内.答案不在解析(2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4).假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，使xy，即由得xy1，代入式不成立，矛盾.假设不成立，故四点不共面.5.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_.答案0解析设a，b，c，则|b|c|，a，ba，c，cb，a(cb)acab|a|c|cos |a|b|cos 0， ，cos，0.6.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在
16、直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_.答案(1,1,1)解析设PDa (a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，cos，a，a2.E的坐标为(1,1,1).7.已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_.答案解析ba(1t,2t1,0)，|ba| ，当t时，|ba|取得最小值.8.如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于_.答案12解析因为，所以22222363636236cos 60144.所以|12.二、解答题9.已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,
17、4)，B(2，2,2).(1)求|2ab|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得b(O为原点)?解(1)a(1，3,2)，b(2,1,1)，2ab(0，5,5)，|2ab|5.(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则，即(x3，y1，z4)(1，1，2)，E(3，1，24)，(3，1，24).又b(2,1,1)，b，b2(3)(1)(24)590，E(，)，在直线AB上存在点E(，)，使b.10.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解记a，b，c，则|a|
18、b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112()6，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是_.答案2解析其中为真命题.2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为_.答案解析
19、以D为原点，DA、DC、DD1为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(1，1)，N(1,1，)，(0，1)，(1,0，)，cos，.3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为_.答案a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z).点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.M，|a.4.已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.答案60解析
20、由条件知(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.5.如图所示，已知二面角l的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBC CD1，则AD的长为_.答案解析，所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的长为.6.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5).(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|
21、，且a分别与，垂直，求向量a的坐标.解(1)由题意可得： (2，1,3)，(1，3,2)，cos，.sin，以，为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.(2)设a(x，y，z)，由题意得，解得或，向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1).7.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点.(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.
