1、自我校对求差比较法与求商比较法算术几何平均值分析法与综合法反证法、几何法与放缩法不等式性质的应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现【例1】给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中能推出logblogalogab成立的条件的序号是_(填所有可能的条件的序号)精彩点拨先化简被推出的不等式，然后根据对数函数的性质，逐个判断自主解答logb 1，若1ab，则1b，loga loga 1，故条件不可以；若0ab1，则b1，logabloga loga
2、1logb ，故条件可以；若0a1b，则01，loga 0，logab0.因此条件不可以答案1若a，b是任意实数，且ab，则()Aa2b2B1Clg(ab)0D解析ab并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证C成立显然只有D成立事实上，指数函数y是减函数，所以ab成立答案D恒成立问题中求字母范围的问题在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)a恒成立f(x)maxa；(2)f(x)a恒成立f(x)mina.【例2】对任意实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围精彩点拨
3、构造函数F(a，b)，从而转化为|x1|x2|F(a，b)min.自主解答依题意，|x1|x2|恒成立故|x1|x2|min.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时取“”，所以min2，因此原不等式等价于|x1|x2|2.解上述不等式得x，即所求x的取值范围为.2对一切xR，若|xa|x2|7恒成立，求实数a的取值范围解对xR，|xa|x2|(x2)(xa)|2a|，因此原不等式恒成立，必有|2a|7.2a7或2a7，解得a5或a9.故实数a的取值范围是a|a5或a9.平均值不等式与最值应用平均值不等式求最大(小)值，关键在于“一正、二定、三相等”也就是：(
4、1)一正：各项必须为正；(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值；(3)三相等：必须验证等号是否可以成立【例3】某县投资兴建了甲、乙两个企业，2011年该县从甲企业获得利润100万元，从乙企业获得利润400万元，以后每年上缴的利润甲企业以翻一番的速度递增，而乙企业则减为上年的一半，据估算，该县年收入达到5 000万元可解决温饱问题，年收入达到50 000万元达到富裕水平，试估算：(1)若2011年为第1年，则该县从上述两企业获得利润最少的是第几年？这年还需另外筹集多少万元才能解决温饱问题？(2)到2020年底，该县能否达到富裕水平？为什么？精彩点拨自主解答
5、(1)设第n年该县从这两个企业获得的利润为y万元，则y1002n-14001001002 400(n1)，当且仅当2n-1，即n2时，ymin400(万元)，由5 0004004 600(万元)，所以第2年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外筹集4 600万元才能解决温饱问题(2)到2020年，即第10年，该县从这两个企业获利润：y100210-14001002951 20050 000.故能达到富裕水平3某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元(1)该船捕捞几年开始
6、盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值？)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出问：哪一种方案较为合算？请说明理由解(1)设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则y50n982n240n98.由y0，得n220n490，10n10(n为正整数)，3n17，n3.即捕捞3年后，开始盈利(2)平均盈利为2n402 4012.当且仅当2n，即n7时，年平均利润最大经过7年捕捞后平均利润最大，共盈利为12726110万元y2n240n982(n10)2102，当n10时，y的最大值为102；即经过10年捕捞盈利额
7、最大，盈利1028110万元故两种方案获利相等，但方案的时间长，所以方案合算.证明不等式的基本方法比较法、综合法和分析法，善于分析题目特征，灵活运用不等式的性质，根据目标进行变形，但放缩一定要适度【例4】已知a0，a22abc20且bca2，试证明：bc.精彩点拨利用综合法，由平均值不等式建立不等关系，比较大小自主解答a22abc20，a2c22ab.又a2c22ac，且a0，2ab2ac，bc，若bc，由a22abc20，得a22abb20，ab，从而abc，这与bca2矛盾从而bc.4设a，b，c均为大于1的正数，且ab10.求证：logaclogbc4lg c.证明由于a1，b1，故要证
8、明loga clogb c4lg c，只要证明4lg c，又c1，故lg c0，所以只要证4，即4，因ab10，故lg alg b1，只要证明4(*)，由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b.即(*)式成立原不等式loga clogb c4lg c得证.数学思想与方法不等式是中学数学中的重要内容，虽然知识点较少，但综合性强，是每年高考必考的热点之一几乎涉及整个高中数学的各个章节，以“实际为背景”、“函数为背景”的考题居多，既有客观题，又有主观题不仅测试有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法，而且还测试运算能力、逻辑推测能力以及分析问题、解决问题的能力根据本章特点，应强
9、化训练函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想方法【例5】(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.自主解答(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(
10、x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.5若对任意xR，不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是()Aa1B|a|1C|a|1Da1解析设f(x)|x|，g(x)ax，作函数图像(如图所示)由图像知，|a|1，选B.答案B1设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_解析因为a，bR，则|ab|2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|xa|xb|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b
11、之间时|xa|xb|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.答案(，)2设ab2，b0，则的最小值为_解析当a0时，；当a0时，1.综上所述，的最小值是.答案3已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)由题意得f(x)故yf(x)的图像如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为.4已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)
