1、北京市第四中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求集合，再求.【详解】，.故选：B2. 下列命题中的假命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】A举出反例可判断；B令可判断；C由实数平方的性质可判断；D由指数函数的性质可得答案.【详解】对于A因为，错误；对于B当成立，正确；对于C，正确；对于 D ，成立，正确；故选：A.3. 已知向量，若与共线，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可求出，然后根据与共线即可
2、得出，然后解出值即可【详解】解：，且与共线，解得故选：4. 已知是上的奇函数，当时,则的解集是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性，得到，进而得到或，进而求解即可【详解】是上的奇函数，当时,，令,则有，则当时，所以，所以，当或，解得故选：C5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解.【详解】由题意.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是A. B. C
3、. D. 【答案】D【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，故D正确考点：不等式的性质7. 已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】在不等式两边平方并化简得，判断出角的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】三角形中，“”，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.三角形为锐角三角形为锐角.三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B.【点睛
4、】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.8. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A. 105倍B. 108倍C. 1010倍D. 1012倍【答案】B【解析】【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，计算求的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B9. 函数的图象大致为A.
5、B. C. D. 【答案】D【解析】，即为奇函数，故排除当时，即在上为减函数，故排除故选D点睛：本题考查了函数的图象的判断，属于基础题；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，利用函数的奇偶性判断函数图象，再通过函数的单调性及值域进行排除.10. 已知函数 给出下列三个结论： 当时，函数的单调递减区间为； 若函数无最小值，则的取值范围为； 若且，则，使得函数恰有3个零点,，且. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象，直接判断函数的单调性；分三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数的取值范围；首先令，解出
6、三个零点，进而判断结论.【详解】当时，画出函数的图象，如下图，由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数时，函数并不单调递减，故不正确；当时，时，函数单调递增，并且当时，所以函数没有最小值；当时，函数的最小值是0；当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足，故正确；对于，令，当时，当时，不妨设，则，令，可得，当时，则三个零点，当时，则三个零点.综上可知正确；故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的
7、关键是解出3个零点，并能判断，从而只需验证是否即可.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】写出使函数有意义的表达式，求定义域.【详解】的定义域需满足，所以函数的定义域.故答案为：12. 已知，且. 则=_，=_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的正切公式计算可得；【详解】解：因为，且，所以，所以，所以故答案为：，13. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_.【答案】【解析】【分析】将两边平方化简后可得，于是推出，从而得解【详解】解：，即，与的夹角为故答案为：14. 圆与直线相
8、切于点，则圆的半径为_，直线的方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）首先求，再写成圆的标准方程，求圆的半径；（2）利用圆的切线的几何性质，求直线的斜率，再求直线方程.【详解】（1）由条件可知点在圆上，即，解得：，圆的方程，所以圆的半径；（2）设圆的圆心，由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程，即.故答案为：；15. 关于的方程的实根个数记为.若，则=_；若，存在使得成立，则的取值范围是_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】（1）根据函数的单调性和值域，直接求；（2）首先讨论和两种情况下函数的图象，根据函数图象，结合和的交点个数，根据不等
9、式，列出关于的不等式求解.【详解】（1）函数，函数的值域为，并且函数是单调递增函数，故方程，只有一个解，故，（2）若，当时，的图象如下图所示，直线在的上方，不成立；当时，的图象如图所示，当，时，若存在使得，所以，即解得：，故的取值范围是.故答案为：1；【点睛】关键点点睛：本题的关键理解，以及的意义，并讨论的取值，结合以及对称轴画出函数的图象，利用数形结合分析问题.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）值【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理得一关于的方程，与已知联立可解得；（2）由正弦
10、定理求得，利用两角差的正弦公式求得，注意同角三角函数关系的应用【详解】（1）由余弦定理，得.因为，所以.解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，B是钝角，所以C为锐角.所以.所以.【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理解三角形，考查两角差的正弦公式，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键17. 已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最大值；(3)求证：存在唯一的，使得.【答案】（1）；（2）6；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；（2）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；（3）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.【详解】
11、（1）由，得，所以，又 所以曲线在点处的切线方程为：，即：.（2）令，得.与在区间的情况如下：-0+极小值因为所以函数在区间上的最大值为6. （3）证明：设=，则， 令，得.与随x的变化情况如下：100极大值极小值则的增区间为，减区间为. 又，所以函数在没有零点，又，所以函数在上有唯一零点.综上，在上存在唯一的，使得.18. 已知函数.(I)求f(0)的值；(II)从；这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.【答案】(I) ；(II) 时，；时，.【解析】【分析】(I)将代入求值即可；(II)用二倍角和辅助角公式化简可得，再由可得
12、，结合正弦函数图象求解最值；，利用抛物线知识求解【详解】(I)；(II)，由题意得，故，所以当时，取最小值.，令，当时，函数取得最小值为.，【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.19. 已知：函数.（1）求；（2）求证：当时，；（3）若对恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负
13、判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.【详解】 （1）；（2）令，则， 当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以， 所以.（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以， 故在单调递减，所以. 综上所述，的最大值为 .【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数
14、的取值范围.20. 已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（2，0）的直线l与圆x2+y21交于P，Q两点（）若，求直线l的方程；（）若OMP与OPQ的面积相等，求直线l的斜率【答案】（）xy+20，或xy+20（）【解析】【分析】（）利用两个向量的数量积的定义求出，POQ120，得到O到直线l的距离等于，根据点到直线的距离公式求出直线l的斜率，从而得到直线l的方程（）因为OMP与OPQ的面积相等，可得，再由P，Q两点在圆上，可解得点P的坐标，由两点式求得直线l的斜率【详解】（）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（2，0），可设直线l：yk（x+2）因为P、Q两点在圆x2+y21上，所以
15、，因为，所以，所以，POQ120，所以，O到直线l的距离等于 所以，得，所以直线l的方程为x15y+20，或 x+15y+20，即 xy+20，或xy+20（）因为OMP与OPQ的面积相等，所以，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，所以，即（*）； 因为P，Q两点在圆上，所以，把（*）代入，得，所以，所以，直线l的斜率，即 【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，直线和圆相交的性质，求出点P的坐标是解题的难点，属于基础题21. 对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，2，4，8，写出和的值，并用列举法写出集合；用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；有多少个
16、集合对，满足P，且？【答案】(1),，(2)4，（3）128【解析】试题分析：（）依据定义直接得到答案；（）根据题意可知：对于集合且,则;若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值（）由P，QAB，且（PA）（QB）=AB求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数试题解析：(),.()根据题意可知：对于集合,且,则;若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时,取到最小值4.()因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.
