1、2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛一、选择题（每小题6分，共36分）1方程的实数解的个数为（ ）。 大于答 选。设，则，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。2正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ ）。 大于 与分割的方法有关答 选。只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。3已知关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，则的最小值为（ ）。 以上结果都不对答 选。当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。4已知为正整数，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（ ）
2、。 。答 选。 因为，所以，于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。5定义区间的长度均为，其中。已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（ ）。 答 选。原不等式等价于。当或时，原不等式等价于。设，则。设的两个根分别为，则满足的构成的区间为，区间的长度为。当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。由韦达定理，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。6过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为（ ）。 答 选。过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，垂足为，则，且有。由于，则，因此为
3、半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。二、填空题（每小题9分，共54分）7若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为 。答 。因为的整数解为，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一的有序数对，所以有序数对的数目为。8方程的所有正整数解为 。答 。因为，所以。设，类似的可得 。设，则原方程化为，即。因为，所以。又因为，所以为偶数，于是，经验证，所以。或由，得，又因为为奇数，所以经验证。9若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为 。答 。设，由
4、余弦定理得。一方面，另一方面，解得。同理可得。从而有。当时，有最大值，且最大值为，所以。由于，所以。设两个根分别为，则。10方程的不同非零整数解的个数为 。答 。利用，原方程等价于。方程两端同除，整理后得。再同除，得。即，从而有。经验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。11设集合，其中是五个不同的正整数，若中所有元素的和为，则满足条件的集合的个数为 。答 。因为，所以。由于中有，因此中有。若，则，于是，无正整数解。若，由于，所以，于是。又因为，当时，；当时，因此满足条件的共有个，分别为。12在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。若到点的交通距离相等，其中实数满足，则所有满足条件的点
5、的轨迹的长之和为 。答 。由条件得。当时，无解；当时，无解；当时，无解；当时，线段长为。当时，线段长为。当时，线段长为。当时，无解。当时，无解。当时，无解。综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。三、论述题（每小题20分，共60分）13已知的外心为，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交于点，求证三点共线。证明 连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。14已知数列满足，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数。解法一 设，的特征方程为，特征根为，结合，得。由二项式定理得。当为奇
6、数时，；当为偶数时，。于是，即，所以满足条件的最小正整数为。解法二 下面都是在模意义下的,则,即,因此数列在模意义下具有等差数列的特点。又因为，所以。于是有，因此满足条件的最小正整数为。15排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。解 的最小值为。若，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两
7、名，由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。设最大数和最小数分别为，不妨假设。若，则满足；，因为，所以要么在的前面，要么在的后面至少有两个数，不妨假设在的后面有两个数，从而与中一定有一个成立。引用上面的结论，当时，第一名教师至少可以挑选三名学生；若余下的学生大于等于名，则第二名教师也至少可以挑选三名学生；这时剩下的学生的数目不超过名，可以被两名教师全部挑选，因此，的最小值为。
