1、广东省汕尾市海丰县2019-2020学年高二数学下学期”线上教育“教学质量监测试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教八版必修3，选修2-1、2-2、2-3至2.1.第卷（选择题共60分）、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某小区有3个正门，2个偏门，则进入该小区的方式有（ ）A. 3种B. 2种C. 6种D. 5种【答案】D【解析】【分析】根据分类计数加法原理即得结果.【详解】进入该小区的方式可以从正门进，也可从偏门进，所以根据分类计数加法原理得该
2、小区的方式有种故选：D【点睛】本题考查分类计数加法原理，考查基本分析求解能力，属基础题.2.命题：对任意一个，是整数，则为（ ）A. 对任意一个，不是整数B. 对任意一个，是整数C. ，不是整数D. ，不是整数【答案】C【解析】【分析】由题意结合全称命题的否定即可得解.【详解】命题为全称命题，为“，不是整数”.故选：C.【点睛】本题考查了全称命题的否定，关键是要改写量词，否定结论，属于基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两不等式解集包含关系确定充要关系，即得结果.【详解】所以“
3、”是“”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第2项为（ ）A. -8B. C. 28D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合二项式系数的概念可得，求得后，再由二项式定理即可得解.【详解】的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，展开式中的第2项为.故选：B.【点睛】本题考查了二项式系数的概念及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
4、【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以故选：C【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.【详解】解：由得：，解得：或（舍去）.故选：B.【点睛】本题考查排列数与组合数公式，属于基础题.7.4名护士和2名医生站成一排，2名医生不能相邻，则不同的排法种数为（ ）A. 480B. 240C. 600D. 20【答案】A【解析】【分析】根据插空法求解即可.【详解】先安排4名护士，有种方法再从产生的5个空位选两个排2名医生，有种方法最后根据分布计数原理得不同的排法种
5、数为：故选：A【点睛】本题考查利用插空法解决不相邻问题，考查基本分析求解能力，属基础题.8.6名医生赴武汉的雷神山医院和火神山医院支援抗疫，每个医院至少分派2名医生，则不同的分派方案有（ ）A. 70种B. 35种C. 25种D. 50种【答案】D【解析】【分析】由题意将分派方案分为雷神山医院分派2名医生、3名医生、4名医生3种，利用分类求和与组合的知识即可得解.【详解】6名医生赴武汉雷神山医院和火神山医院支援抗疫，每个医院至少分派2名医生，可分为三种情况：雷神山医院分派2名医生，共有种分派方案；雷神山医院分派3名医生，共有种分派方案；雷神山医院分派4名医生，共有种分派方案；所以不同的分派方案
6、有种.故选：D.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，关键是对事件合理分类，属于中档题.9.函数在处的切线与函数的图象交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出函数在处的切线方程，再把该切线方程与函数联立求解，即可得出该切线与函数的图象的交点个数【详解】 如图，由已知得，函数在处的切点为，切线方程为：，与函数进行联立，和联立得，解得，可得和的交点为，故和相切，且交于故函数在处的切线与函数的图象交点个数为1个答案选：B【点睛】本题考查切线方程的运用，属于简单题.10.从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数
7、字的六位数，其中偶数共有（ ）A. 312个B. 1560个C. 2160个D. 3120个【答案】D【解析】【分析】由题意将情况分为0放在末位、0不放在末位两种情况，结合分步乘法、排列组合的知识即可得解.【详解】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有个；、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有个；则满足要求的偶数共有个.故选：D.【点睛】本题考查了计数原理
8、的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，关键是对情况合理分类、分步，属于中档题.二、多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.11.设，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若为纯虚数，则D. 若与都是实数，则【答案】BD【解析】【分析】根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于选项A：因为，所以，所以，所以.故A选项错.对于选项B：当时，所以，所以.故B选项正确.对于选项C：因为，所以.因为为纯虚数，所以且，解得：或.故C选项错误.对于选项D：因为为实数，所以，所以.因为为实数，所以，
9、又因为，所以.所以，所以.故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数为纯虚数的和实数的条件以及复数模的公式，考查学生的计算能力，属于基础题.12.若，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】令，求出，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项B；令，求出结合值，可判断选项C；利用展开式所有项系数和为，结合值，可判断选项D.【详解】,令，所以选项A正确；五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其它四个因式取，或两个因式取其它三个因式取，所以，所以选项B不正确；令，所以选项C不正确；展开式所有
10、项系数和为，令，得，所以选项D正确.故选：AD.【点睛】本题考查二项式展开式的性质，赋值法是求有关系数或系数和常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.第卷（非选择题共90分）三、填空题： 13.乘积展开后共有_项.【答案】8【解析】【分析】根据乘法的原理和计数原理可得答案.【详解】根据题意，乘积展开式后的每一项是，这2个式子中任取一项后相乘，而有2种取法，有4种取法， 根据乘法原理得共有种取法，所以展开式共有8项，故答案为：8.【点睛】本题考查计数原理的应用，属于基础题.14.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数为_.【答案】【解析】【分析】由题意结
11、合复数的几何意义可得点，进而可得点，再由复数的几何意义即可得解.【详解】在复平面内，是原点，向量对应的复数是，点，又点、点关于实轴对称，点，向量对应的复数为.故答案为：.【点睛】本题考查了复数几何意义的应用，关键是对概念的熟练掌握，属于基础题.15.在的展开式中，第5项和第6项的二项式系数同时取得最大值，则=_，常数项为_.【答案】 (1). 9 (2). 【解析】【分析】由题意结合二项式系数的性质可得，再由二项式定理即可求得展开式中的常数项，即可得解.【详解】的展开式中，第5项和第6项的二项式系数同时取得最大值，；的展开式的通项公式为，令即，.的展开式中，常数项为.故答案为：9；.【点睛】本
12、题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若右顶点为的双曲线与抛物线在第一象限相交于点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】作出抛物线与双曲线的图象，由，根据抛物线的定义得到，代入双曲线的方程，得到，结合双曲线的离心率的范围，即可求解.【详解】如图所示，抛物线的焦点坐标为与双曲线的焦点相同，因为，由抛物线的定义，可得，将点代入双曲线的方程，可得，即，可得，整理得，解得或，因为，则，所以，可得.故答案：. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及抛物线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算
13、能力.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数.当实数取什么值时，复数是（1）1；（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据实部为1，虚部为零可求的值；（2）根据实部和虚部相等可求值.【详解】解：.（1）当即时，为1.（2）当，即或时，为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.【点睛】本题考查复数的分类、复数的几何意义以及复数的运算，注意根据实部和虚部的性质来解决问题，本题属于容易题.18.某宅家居民为了活跃气氛，设计了一个摸球游戏.一盒中有9个球，其中3个标有数字，6个标有字母，这些球除所标不同外其他
14、完全相同.一次从中摸出3个球，至少摸到2个标有数字的球就中奖.（1）记摸出标有数字球的个数为，求的分布列；（2）求中奖的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合超几何分布的概率公式可得、，列出分布列即可得解；（2）由题意结合分布列，利用，即可得解.【详解】（1）服从超几何分布， 的可能取值为0，1，2，3.所以，所以的分布列为：0123（2）由（1）知中奖的概率为.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的求解与应用，考查了超几何分布的应用与运算求解能力，属于中档题.19.年年初，新冠肺炎疫情防控工作全面有序展开.某社区对居民疫情防控知识进行了网上调研，调研成绩全
15、部都在分到分之间.现从中随机选取位居民的调研成绩进行统计，绘制了如图所示的频率分布直方图.求的值，并估计这位居民调研成绩的中位数；在成绩为，的两组居民中，用分层抽样的方法抽取位居民，再从位居民中随机抽取位进行详谈.记为位居民的调研成绩在的人数，求随机变量的分布列.【答案】，中位数为分；随机变量的分布列见解析.【解析】【分析】根据频率之和为，由此算出的值，利用频率分布直方图求中位数的方法设中位数为，列式计算即可得出结论；可知成绩在，的居民人数分别为人，人，根据分层抽样，可知抽取的位中，成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，则的可能取值为，求出相应概率，列出相应的分布列.【详解】解：，得.前组的频率
16、之和为，第组的频率为，因为，所以中位数在第组.设中位数，则，解得.所以位居民调研成绩的中位数为分.成绩在，的居民人数分别为人，人，所以在的居民中应抽取（人），在的居民中应抽取（人）.的可能取值为，所以的分布列为：【点睛】本题考查频率分布直方图，考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先由已知推出，再由线面垂直判定定理得到平面，最后由面面垂直判定定理推出平面平面；(2)建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面和
17、平面的法向量，根据向量的夹角公式直接计算即可.【详解】解：（1）证明：平面，平面，.又四边形为菱形，.，平面.又平面，平面平面.（2）设，如图，以为原点建立空间直角坐标系.易求得. ，由（1）知平面的法向量为.，设平面的法向量为，令则.，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直判定、通过空间直角坐标系计算二面角的余弦值，属于中档题.21.已知函数.（1）求函数的极值；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为；极小值为；（2）【解析】【分析】（1）求出，进而求出的解，得出的单调区间，即可求出结论；（2）求出，由在上恒成立，分离参数，转化为与新函数的最值关系，通过求导
18、求出新函数的最值，即可求解.【详解】（1），令，得或.当时，或；当时，. 随的变化，变化如下表所示：1+00+单调递增极大值2单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为2；当时，有极小值，且极小值为. （2），则.因为在上是单调增函数，所以在上恒成立，即不等式在上恒成立，也即在上恒成立.设，则.当时，恒成立，所以在上单调递减，.所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数导数的应用，涉及到函数的单调性、极值最值问题，不等式恒成立与最值关系，分离参数是解题关键，属于中档题.22.椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与，的距离之和为，且焦距是短轴长的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）过线
19、段上一点的直线（斜率不为0）与椭圆相交于，两点，当的面积与的面积之比为时，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的定义可得，再由、求得后，即可得解；（2）转化条件得直线过定点，设直线的方程为，联立方程组利用韦达定理可得的面积，换元后利用二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题可知，. 又，所以，所以，所以，解得或（舍去），从而椭圆的方程为；（2）由题意可得，因为的面积与的面积之比为1：3，所以直线过定点，设直线的方程为，联立得，所以，所以的面积.设，则，所以，所以当时，最大，最大值为，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用及标准方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用与运算求解能力，属于中档题.
