1、吉安市2021届高三上学期1月大联考试卷数学（文）（3-2）（试卷总分150分考试时间120分钟）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则中元素的和为（ ）A.0B.1C.2D.2.已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）A.B.C.D.3.给出一组样本数据：1，4，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为（ ）A.B.C.D.4.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“
2、0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）A.2B.1C.高D.考5.已知锐角，满足，则的值为（ ）A.B.C.D.6.已知，若，则（ ）A.B.C.2D.7.已知是曲线：上的点，是直线上的一点，则的最小值为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，给出三个条件：；.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）A.B.C.D.9.已知函数的图象如图所示，则（ ）A.B.2C.D.10.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.11.如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，相交于点，平面，是的中点，动点在该棱
3、锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长为（ ）A.3B.7C.13D.812.已知曲线：在处的切线与曲线：（）在处的切线平行，令，则在上（ ）A.有唯一零点B.有两个零点C.没有零点D.不确定第卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值为_.14.已知数列是等差数列，则的最大值是_.15.已知数列的前项和为，且对任意的，都有，则_.16.已知函数，若，则实数的取值范围是
4、_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（12分）一年一度的剁手狂欢节“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数（百件）与获得的纯利润（单位：百元）之间的一组数据关系如下表：345678966697381899091（1）若与具有线性相关关系，判断与是正相关还是负相关；（2）试求与的线性回归方程；（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售
5、服装的件数（百件）与获得的纯利润（单位：百元）之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？（有关计算精确到小数点后两位）参考公式与数据：，.18.（12分）在锐角中，内角，所对的边分别为，且直线为函数图象的一条对称轴.（1）求；（2）若，求面积的最大值.19.（12分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，分别为，的中点，在上，且.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.20.（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为.（1）求
6、椭圆的标准方程；（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程.21.（12分）已知函数，.（1）当时，令函数，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（2）令，当时，若函数的极小值为，求的值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线过定点，倾斜角为（），曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线交曲线于，两点，且，求的参数方程.23.（10分）【选修4-5不等式选讲】已知函数，.（1）当时
7、，解不等式；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围.你选做的题目是_题（填22、23）答案：大联考数学（文）（3-2）参考答案1.B（解析：，则，故选B.）2.B（解析：为纯虚数，则，则，故选B.）3.C（解析：由题意得，样本平均值为，即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，共6种情况，其中和为5的有，两种情况，所求概率为，故选C.）4.C（解析：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故选C.）5.A（解析：是锐角，是锐角，故选A.）6.D（解析：，则，故选D.）7.D（解析：由得，曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到直线的距离，即为的最小值，故选
8、D.）8.D（解析：若，则，非等比数列；若，非等比数列.若，则，为等比数列；则，故选D.）9.C（解析：由图象可知，即，则，则则，故选C.）10.A（解析：由题设知，直线的方程为，联立得，设直线与轴交于点，则，即，即，故选A.）11.D（解析：取，的中点，连接，是的中点，平面平面，平面，又四边形是菱形，平面，则平面，故只要动点在平面内即总保持，又动点在棱锥表面上运动，动点的轨迹的周长即为的周长，四边形是菱形，边长为6，且，则，又，故，的周长为8，故选D.）12.A（解析：，又，由题设知，即，则，令，则，当时，当时，在上的最小值为，则，在上单调递增，且，故选A.）13.4（解析：由程序框图知，当
9、时，否，是奇数，则，；否，不是奇数，则，；否，不是奇数，则，；满足条件，结束程序，输出的值为4.）14.16（解析：设等差数列的公差为，由题设知，设，则不等式组等价为对应的可行域为如图所示的三角形及其内部，由，当直线过点时，取得最大值为16.15.5（解析：，.）16.（解析：定义域为，即为定义域在上的奇函数，且在上单调递增，当时，不等式显然不成立，当时，即为，即，则，故实数的取值范围是.）17.解：（1）由题目中的数据表格可以看出，随着的增大而增大，判断出与是正相关；（2）由题设知，则，线性回归直线方程为；（3）由（1）知，当时，（百元），11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百
10、元；由（1）知，前一周的平均利润为（百元），故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.18.解：（1），直线为函数图象的一条对称轴，（），即（），又，当时，.（2），由余弦定理得，即，故面积的最大值为.19.（1）证明：连接，为的中点，为的重心，点一定在上，且，为的中点，又，即，则，平面，平面，平面；（2）解：延长，交于，由题设知，为的中点，是正三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，即为三棱锥的高，又，故.20.解：（1）由题设知，为等腰三角形，又直线过，当轴时，的面积为，由解得，；故椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为（），由得，设，设线段的中点为，则，即.设
11、，解得，即，直线的斜率为，即，解得，或，故直线的方程为或.21.解：（1）当时，不等式在区间上有解，则，当时，函数在上单调递增，则，故实数的取值范围.（2）由题设知，当时，令，则或，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，函数的极小值为，由题设知，即，则.22.解：（1）由得，即，又，即曲线的极坐标方程为；（2）设的参数方程为（为参数），代入整理得，设方程的两根分别为，则，则，解得，.故的参数方程为（为参数）.23.解：（1）当时，则不等式为，当时，为恒成立，当时，为，解得或，或，综上，不等式的解集为；（2）不等式等价于，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，函数在区间上单调递增，最小值为，故实数的取值范围是.
