1、高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)(推荐时间：70分钟)1设椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10
2、，x2c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.2已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点M(4,1)，直线l：xym0交椭圆于不同的两点A，B.(1)求m的取值范围；(2)若直线l不经过点M，求证：直线MA，MB的斜率互为相反数(1)解设椭圆的方程为1(ab0)，因为2c2，所以a2b2c2b215，又因为椭圆过点M(4,1)，所以1，解得b25，a220，故椭圆方程为1，将yxm代入1，
3、整理得5x28mx4m2200，(8m)220(4m220)0，解得5mb0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解(1)由题意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，椭圆的方程为1.(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为yk(x4)，由得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0，得k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k
4、2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225，0k2，425b0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解(1)e2，a23b2，椭圆方程为1，即x23y23b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d，当y1时，d取得最大值，且dmax3，解得b21，a23.椭圆C的方程为y21.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则n21，即
5、m233n2.设圆心到直线l的距离为d，则d1，d.|AB|22 .SOAB|AB|d2 .d1，00.SOAB ，当且仅当1，即m2n221时，SOAB取得最大值.由得存在点M满足题意，M点坐标为，或，此时OAB的面积为.5(2014山东)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解(
6、1)由题意知F(，0)设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)因为|FA|FD|，则x01|xD1|，由xD0，x00，得xDx02，故D(x02,0)，故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)由y4x0，整理可得y(x1)，所以直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)由知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)，由知，kAB，所以直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，由根与系数的关系，得y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.
