1、第43讲 柯西不等式柯西不等式是不等式中的经典之一。本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明不等式等方面的应用。柯西不等式的二维形式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。柯西不等式的一般形式：设，是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立。柯西不等式的变形形式：变形1. 设，则当且仅当时，等号成立。变形2. 设，同号且不为0，则，当且仅当时，等号成立。对于柯西不等式的一般形式，我们将在本节的附录里给出证明。A类例题例1 为正的常数，求的最小值。分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，可看作，如再能出现
2、，则可用，注意到解法一：用柯西不等式，因此，当且仅当，即时，取得最小值。解法二：用平均值不等式，同时可以算得，当且仅当时，即时取得最小值。说明：解法一和解法二都作了凑配，凑配之后，才能用上相应的不等式。ADCBPFE例2 如图已知为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求使的值最小的点。 （第22届IMO）分析：由，可得，（为面积，是常数）。有了就可以使用柯西不等式了。解：，据柯西不等式，因此，当且仅当，也即时，取得最小值，易知为之内心。例3 1）已知，求证。 2）已知为锐角，则的充要条件是。1）分析：如果把分别看作，那么，其形式已经具备柯西不等式的特征。证明：，即得，由已知及柯西不等式，当且仅
3、当时，上式取等号，所以。2）分析：必要性是显然的。我们来证充分性。即如为锐角，则。为了能够使用柯西不等式，我们可以配上一个因式证明：据柯西不等式，也就是，即，又不可能大于1，因此，为锐角，故。说明：利用柯西不等式来证等式，主要是利用其取等号的充要条件来达到目的。从这两题证明过程看，用柯西不等式要比别的方法简捷一些。情景再现1. 解方程2. 已知，求的最小值。3. 设，且，求证B类例题例4 已知是实数，满足，试确定的最大值。 （第七届美国数学竞赛题）分析：柯西不等式中有两组数，因此可用柯西不等式的关键一定要构造出两组数，而且一个或两个和式应该和柯西不等式的某一因式结构相同。为此，可以写成，这样就
4、有了两组数及。解：据柯西不等式，也就是。因为，我们得到。当时，。说明：本题解法适用于同类型的问题，要紧的是问题的结构，而不在乎题目中字母的多少。例5 设，其中，是任意给定的自然数，且，证明：，当时成立。 （1990年全国高考题）分析：由已知，要证，只要证，即证 .（*）把不等式（*）右边的第一个因子看作，将分别写成，则不等式（*）具有明显的柯西不等式特征。证法一：用柯西不等式由于，均互不相等，据柯西不等式，取对数得，也就是。证法二：用数学归纳法先证明时，（*）式成立。假如，则，假如，因为，所以，因而时，（*）式成立。假设当时，（*）式成立，即有，那么，当，时，这就是说当时，（*）式也成立。因此
5、（*）对任何的自然数都成立，也即成立。例6 设，证明不等式 （2003年全国高中联赛）分析：注意到中的系数和为零。，对该式右端的后三个根式用柯西不等式。证法一：，据柯西不等式，于是有，又因为，所以，因此，只需证，因此原不等式成立。证法二：据柯西不等式可得，据此，由于，因此，又三式不可能同时相等，故得。说明：本题两种证法运用柯西不等式的方式稍有不同，但效果却是一样的，不过也有区别。证法一得到的不等式比原题要更强一点。例7 设（）是的任意一个排列，求证： （首届女子数学奥林匹克）分析：无法确定（）是中的哪一个，但是确定的，等于。要证不等式的左边为，对照柯西不等式再配上什么样的因式就可以用上该不等式
6、，很明显，应该再乘上因式证明：根据柯西不等式，有，则 （）情景再现4. 已知都是实数，并且，求证。5. 设，试证。6. 已知正实数满足，证明C类例题例8 设实数满足，求证 （首届中国东南地区数学奥林匹克）分析：由平均不等式知，因此要证只要证，也即只要证，而此式可从已知条件获得。证明：由柯西不等式，即，。又。例9 ，证明分析：本题已知条件很少，又不便直接应用柯西不等式。这时候常常尝试配上一个因子，选择因子的原则是既能用上柯西不等式，继续往下推进，又要有路可走。证明：由柯西不等式， .(1) ，另一方面，由于，所以.(2)不等式(1) ，(2)相乘，即得，当且仅当时等号成立。链接：仿此，同样可以证
7、明。例10 设为正整数，求证：证明：首先证明恒等式，再证又据柯西不等式综上得链接：令，由上结论知是单调递增有界数列，而指出了的比较精确取值范围，在微积分里可以进一步求出情景再现7. ，求证8. 若满足条件，则的最小值是_。 （2004年全国联赛四川省初赛）附录 柯西不等式的一般形式设，是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立。柯西不等式的证明方法不下数十种，这里我们选择其中最简单，也容易被接受，而且具有代表性的证法构造二次函数。证明：当或时，不等式显然成立。设中至少有一个不为0，则，考虑二次函数，因为对于任意实数，所以二次函数的判别式，也即，当且仅当有唯一实数根时，判别式，以上不等式
8、取等号。此时，有唯一实数，使，若，则，柯西不等式成立；若，则有。总之，当且仅当或时等号成立。习题三A类1. 求函数的最大值。2. 设，且，求证3. 设，求证4. 设是正实数，且满足，证明 （2003-2004爱沙尼亚数学奥林匹克）5. 已知为任意实数，证明6. 若和为任意实数，则 B类7. 设，且，求证8. 设，求的最小值。 （2004年全国联赛吉林赛区初赛）9. 为正数，证明10. 设为实数，且，求的值。C类11. 设正数满足，求证： （1989年全国数学冬令营）12. 设为任意实数，证明： （第42届IMO预选题）本节情景再现解答1. 由柯西不等式，得，即，当且仅当时，即时等号成立，故原方
9、程的解为。2. ，当时，取得此最小值。3. ，也即，因此。4. 。因此5. ，即，约去，即得所证。6 由平均值不等式，由柯西不等式，因此得 （1），（2），（1）（2）相乘得7. ，也即8. ，又，所以，因此，即所求最小值为，当取得最小值。习题三解答1. 函数定义域为，且，即，当且仅当时，等号成立。即时，函数取最大值。2. ，也即，就是3. ，即，移项后即得4. 证一：证二：由柯西不等式有及5. 而，因此6 注意到，因此即，不等式两边约去因式，便得要证不等式。7. 代换，令，代入后原不等式化为证明，据柯西不等式得，也即，约去因式，得8. 设原式为A，由柯西不等式， （1），于是有，因为，所以，从而。当时，式（1）和（2）中的等号成立，即A可以取得。综上，所求最小值为。9. ，而，此式即，又为显然，因此原不等式获证。10. 解法一：，由基本不等式，三式相加得，因而有。解法二：，因此，所以上述不等号成立。，（负值舍去），。11. ，所以 （1），又（2），由（1）（2）得。12. 由柯西不等式，得，对于，时，所以，因此。
