1、5.4三角函数的图象与性质54.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性与奇偶性课程目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期；2.通过图象直观理解奇偶性，能够确定图象的对称轴和对称中心 知识点周期函数1周期函数的概念条件一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个_非零_常数T，使得对每一个xD都有xTD，且_f(xT)f(x)_结论函数f(x)叫做_周期函数_，_非零常数T_叫做这个函数的_周期_研读并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期2最小正周期的概念条
2、件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_正数_结论这个最小_正数_叫做f(x)的最小正周期3正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期 _2_2_奇偶性_奇函数_偶函数_ 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)由于sin sin ，则是正弦函数ysin x 的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT(kN*)也是函数f(x)的周期()(3)函数ysin 是奇函数()(4)函数ycos 是偶函数()【解析】 (1)因为sin sin x，所以不是正弦函数ysin x的一个周期(3)ysin cos x，且c
3、os cos x，所以是偶函数(4)ycos sin x，且sin sin x，所以是奇函数 求下列函数的周期(1)f(x)sin ；(2)f(x)|cos x|.解：(1)方法一：因为f(x)sin sin sin f，即ff(x)，所以f(x)sin 的周期为.方法二：因为f(x)sin ，4，所以函数f(x)sin 的周期为T.(2)作出函数f(x)|cos x|的图象如图所示，由图可知，函数f(x)|cos x|的周期为. 活学活用已知函数y sin x |sin x|.(1)画出该函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其周期解：(1)y sin x |sin x| 画出函数图
4、象如图所示(2)由图象知该函数是周期函数，周期是2.规律方法求三角函数周期的方法：(1)定义法(2)公式法：yA sin (x)或yA cos (x)(A，是常数，A0，0)，则周期T.(3)图象法 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)3sin ；(2)f(x)x2cos .解：(1)函数f(x)3sin 的定义域为R因为f(x)3sin 3sin 3sin 3cos 3x，所以f(x)3cos (3x)3cos 3xf(x)，所以f(x)3sin 是偶函数(2)f(x)x2cos 的定义域为R因为f(x)x2cos x2sin x，f(x)x2sin xf(x).所以f(x)x2cos 是奇函
5、数 活学活用判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos 2x；(2)f(x)sin ；(3)f(x)x cos x.解：(1)因为xR，f(x)cos (2x)cos 2xf(x)，所以f(x)cos 2x是偶函数(2)因为xR，f(x)sin cos ，所以f(x)cos cos f(x)，所以函数f(x)sin 是偶函数(3)因为xR，f(x)xcos (x)xcos xf(x)，所以f(x)x cos x是奇函数 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的周期为，且当x时，f(x)sin x，则f等于(D)A B C D【解析】 ffffffsin . 活学活用若函数f
6、(x)是以为周期的偶函数，且f1，则f_1_【解析】 因为函数f(x)是以为周期的偶函数，所以ffff1，所以f1.1下列函数中，周期为的是(D)Aysin x Bysin 2xCycos Dycos 4x【解析】 ycos 4x的周期是.2函数f(x)(B)A是奇函数B是非奇非偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】 因为1sin x0，所以sin x1，即x2k，kZ，故f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数3若函数ysin (x)是偶函数，则可以是(C)A0 B C D【解析】 当时，ysin (x)cos x，此时函数是偶函数4已知函数f(x)cos ，则f(x)的最小正周期是_4_【解析】 由f(x)cos ，得T4.5函数f(x)sin xcos 2x的一个周期是_2_(答案不唯一)【解析】 因为f(x2)sin (2x)cos (2x4)sin xcos 2xf(x)，所以2是函数的一个周期
