1、第七章 机械能守恒定律习题课 机械能守恒定律的应用1机械能守恒的条件：只有重力、系统内弹力做功2机械能守恒定律的三种表达式(1)从能量守恒的角度：Ek1Ep1Ek2Ep2(2)从能量转化的角度：Ek Ep(3)从能量转移的角度：EA EB 多物体系统的机械能守恒问题 如图所示，在竖直方向上 A、B 两物体通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，A 放在水平地面上；B、C 两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C 放在固定的光滑斜面上，用手拿住 C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证 ab 段的细线竖直、cd 段的细线与斜面平行已知 A、B 的质量均为 m，C的质量为 4m，重力加速度为 g，细线与滑轮
2、之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放 C 后它沿斜面下滑，A 刚离开地面时，B 获得最大速度，求：(1)斜面倾角；(2)B 获得的最大速度 v思路点拨 求解时首先要深刻挖掘“A 刚离开地面时，B 获得最大速度”所隐含的条件，即 A 与地面间无弹力且 A、B、C 均处于平衡状态，其次根据初状态弹簧的压缩量与末状态弹簧的伸长量相同，从而得到初状态与末状态弹簧弹性势能相同解析(1)设当物体 A 刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为 xA.对 A 有：kxAmg此时 B 受到重力 mg、弹簧的弹力 kxA、细线拉力 FT 三个力的作用设 B 的加速度为 a，根据牛顿第二定律对 B 有：FTmgk
3、xAma对 C 有：4mgsin FT4ma当 B 获得最大速度时，有 a0由此解得 sin 0.5，所以 30.(2)开始时弹簧压缩的长度为 xBmgk，显然 xAxB当物体 A 刚离开地面时，B 上升的距离以及 C 沿斜面下滑的距离为 xAxB.由于 xAxB，则弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体 A 刚刚离开地面时，B、C 两物体的速度相等，设为 v，由机械能守恒定律得 4mg(xAxB)sin mg(xAxB)12(4mm)v2，解得 v2gm5k.答案(1)30(2)2gm5k【通关练习】1如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧
4、一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 3mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：选 B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项 A、D 错误；弹簧长度为 2L时，圆环下落的高度 h 3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了 Epmgh 3mgL，选项 B 正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度
5、最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C 错误2(多选)如图所示，在倾角 30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg 和 2 kg 的可视为质点的小球 A 和 B，两球之间用一根长 L02 m 的轻杆相连，小球 B 距水平面的高度 h01 m两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取 10 m/s2则下列说法中正确的是()A下滑的整个过程中 A 球机械能守恒B下滑的整个过程中两球及轻杆组成的系统机械能守恒C两球在光滑水平面上运动时的速度大小为 2 m/sD系统下滑的整个过程中 B 球机械能的增加量为23 J解析：选 BD.下滑过
6、程中小球 A、B 和轻杆组成的系统机械能守恒，B 对，A 错；设两球到达光滑水平面上的速度为 v，由机械能守恒定律得 mAg(Lsin 30h)mBgh12(mAmB)v2，代入数据得 v83 m/s，C 错；B 球的机械能增加量为 EB12mBv2mBgh1228322100.1J23 J，故 D 正确机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系(2)系统内两个物体通过轻绳连接如果和外界不存在摩擦力做功等问
7、题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等(3)系统内两个物体通过轻杆连接轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等 链条类系统的机械能守恒问题 如图所示，有一条长为 L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大解析 释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动学公式去解因为斜面光滑，所以机械能守恒，链条得到的动能应是由势能
8、转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定设斜面最高点为零势能点，链条总质量为 m，开始时左半部分的重力势能 Ep1m2gL4sin，右半部分的重力势能 Ep2m2gL4，机械能 E1Ep1Ep2m8gL(1sin)当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能 EpmgL2，动能 Ek12mv2，机械能 E2EpEkmg2 L12mv2.由机械能守恒得 E1E2，所以mgL8(1sin)mgL2 12mv2，整理得 v gL（3sin）2.答案 gL（3sin）2【通关练习】1如图所示，质量分别为 m 和 3m 的小球A 和 B 可视为质点，系在长为 L 的细线两端，桌面水平光滑，高为 h(hL)A 球
9、无初速度从桌面滑下，落在沙地上静止不动，则 B 球离开桌面的速度为()Agh2 B 2ghCgh3Dgh6解析：选 A.由 hL，当小球 A 刚落地时，由机械能守恒得 mgh12(m3m)v2，解得 vgh2，选项 A 正确2如图所示，总长为 L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端 A、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？解析：法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为 m，初始位置的重心在 A 点上方14L 处，末位置的重心在 A 点，则重力势能的减少量为：Epmg14L由机械能守恒得：12mv2mg14L，则 vgL2.法二(
10、将铁链看做两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB部分移到 AA位置重力势能减少量为 Ep12mgL2由机械能守恒得：12mv212mgL2则 vgL2.答案：gL2重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中 AB 是长为 R 的水平直轨道，BCD是圆心为 O、半径为 R
11、 的34圆弧轨道，两轨道相切于 B 点在外力作用下，一小球从 A 点由静止开始做匀加速直线运动，到达 B 点时撤除外力已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点 C，重力加速度大小为 g求：(1)小球在 AB 段运动的加速度的大小；(2)小球从 D 点运动到 A 点所用的时间思路点拨 小球在 AB 段做初速度为零的匀加速直线运动，在BCD 段做变速圆周运动，在 DA 段做竖直下抛运动根据牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解解析(1)小球在 BCD 段运动时，受到重力mg、轨道的正压力 FN 作用，受力分析如图所示由题意知 FN0，且小球在最高点 C 所受轨道的正压力为零，即 FNC0.设小球在 C 点
12、的速度大小为 vC，根据牛顿第二定律有 mgmv2CR小球从 B 点运动到 C 点的过程中，机械能守恒设小球在 B 点的速度大小为 vB，则有12mv2B12mv2C2mgR小球在 AB 段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为 a，由运动学公式得 v2B2aR联立以上各式解得 a52g.(2)设小球在 D 点的速度大小为 vD，下落到 A 点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，小球从 B 点运动到 D 点的过程，有12mv2B12mv2DmgR小球从 B 点运动到 A 点的过程，有12mv2B12mv2设小球从 D 点运动到 A 点所用的时间为 t，根据运动学公式有 gtvvD联立解得 t
13、(5 3)Rg.答案(1)52g(2)(5 3)Rg【通关练习】1如图，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为 m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下重力加速度大小为 g当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()AMg5mgBMgmgCMg5mgDMg10mg解析：选 C.设大环半径为 R，质量为 m 的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以12mv2mg2R.小环滑到大环的最低点时的速度为 v2 gR，根据牛顿第二定律得 FNmgmv2R，所以在最低点时大环对小环的支持力 FNmgmv2R 5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力
14、FNFN5mg，方向向下对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力 FTMgFNMg5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为 FTFTMg5mg，故选项 C 正确，选项 A、B、D 错误2如图所示，若将质量为 m 的小球拉到绳与水平方向成 30角的位置处由静止释放，求小球到达最低点 C 时绳对小球的拉力是多大？(已知绳长为 L，重力加速度为 g)解析：小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成 30角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为 L，设此时小球的速度为 v1.根据自由落体运动的规律有v1 2gL将 v1 分解为沿绳方向的速度 v11 和垂直于绳方向的速度 v12，当绳绷直的瞬间，v11 损失v12v1cos 6gL2绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点 C时的速度为 v2，由机械能守恒定律有12mv2212mv212mgL(1cos 2)设在 C 点绳对小球的拉力为 F，根据牛顿第二定律有Fmgmv22L联立式解得 F72mg.答案：72mg机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
