1、4单 摆必备知识自主学习一、单摆及其回复力【情境思考】如图所示，荡秋千是人们特别是小孩子们一项喜闻乐见的运动。那么，荡秋千时小孩的运动有什么特点？其运动是简谐运动吗？提示：荡秋千时小孩在竖直平面内做往复运动，在满足一定的条件下可看成是简谐运动。1单摆模型(1)单摆的构成 提醒：单摆是一个_模型，实际上并不存在。组成要求细线摆线看成是不可_，且没有_的细线小球摆球看成是没有_只有质量的质点伸长质量大小理想化(2)实际摆可看成单摆的条件：忽略在摆动过程中所受到的_；将摆球看作_；摆线细且不可_。(3)单摆摆球的运动特点：摆球以悬点为圆心在竖直平面内做_。摆球同时以最低点O为平衡位置做_。阻力 质点
2、 伸长 变速圆周运动 简谐运动 2单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧_方向的分力。(2)回复力的特点：在偏角_时，单摆所受的回复力与它偏离_的位移成_，方向总指向_，即Fx。(3)运动规律：单摆在偏角_时做_运动，其振动图像遵循_函数规律。mgl切线很小平衡位置正比平衡位置很小简谐正弦二、单摆的周期【情境思考】如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？提示：这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。1定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：_法。(2)实验结论：单摆振动的周期与
3、摆球的质量_。振幅较小时，周期与振幅_。摆长越长，周期_；摆长越短，周期_。控制变量 无关 无关 越长 越短 2定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N(3050)次全振动的时间t，利用_ 计算它的周期。(2)摆长的测量：用_测出细线长度l0，用_测出小球直径D，利用ll0求出摆长。(3)数据处理：改变_，测量不同_及对应周期，作出Tl、Tl2或T图像，得出结论。2DlT 刻度尺游标卡尺摆长摆长tN3周期公式(1)公式的提出：意大利物理学家_发现了单摆的_性，荷兰物理学 家_首先提出了单摆的周期公式T2 ，并发明了钟摆。(2)公式：T2 ，即T与摆长l的二次方根成_，与
4、重力加速度g的二次 方根成_。(3)固有周期：由公式T2 知，某单摆做简谐运动(摆角小于5)的周期 只与其_和当地的_有关，而与_和_无关，故又叫 作单摆的_，而对应的单摆的频率f 叫作单摆的_。glglgl112glT伽利略 等时 惠更斯 正比 反比 摆长l重力加速度g 振幅 摆球质量 固有周期 固有频率(4)秒摆：周期为_的单摆叫作秒摆，秒摆的摆长约为_ m。4周期公式的应用：由单摆周期公式可得gl，只要测出单摆的摆长l和周期T就可算出当地的重力加速度。224T2 s 1【易错辨析】(1)实际上，摆的摆动都可以看作是简谐运动。()(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。()(3)单摆的回复
5、力是由摆球重力的分力提供的。()(4)单摆的振幅越大周期越大。()(5)单摆的周期与摆球的质量无关。()(6)摆长应是从悬点到摆球球心的距离。()关键能力合作学习知识点一 对单摆回复力及运动特征的理解角度 1 单摆的回复力1单摆的平衡位置：摆球静止在 O 点时，悬线竖直下垂，受重力和拉力，小球受的合力为零，可以保持静止，所以 O 点是单摆的平衡位置。提醒：单摆的平衡位置仅是摆球静止时合力为零的位置，但摆球摆动起来后通过平衡位置时仅仅是回复力为零，合外力却不为零。2单摆的受力分析(1)单摆的向心力来源：当球运动到 P 点时，受力如图，将重力 G 沿切线和细线两方向分解为 G1 和 F。沿细线方向
6、：FnFG1mv2L，作用是改变小球运动的速度方向，提供球做圆周运动的向心力；(2)单摆的回复力来源：由(1)中图可知，当球运动到 P 点时，沿圆弧切线方向，有FG sin，作用是改变小球运动的速度大小，提供球做简谐运动的回复力。提醒：(1)回复力是摆球所受合外力在沿摆球运动轨迹切线方向的分力，而不是合外力完全来提供回复力。(2)回复力是效果力，作用是使摆球回到平衡位置，可以是几个力的合力，也可以是某个力的分力。如图所示装置叫双线摆，不计空气阻力，摆球在垂直于纸面的平面内摆动时，都受哪些力？摆球的运动是简谐运动吗？提示：摆球受自身重力及两根线的拉力，在不计线的形变，且摆球的摆角很小(小于 5)
7、时，其摆动可看成简谐运动。【典例 1】对于单摆，以下说法中正确的是()A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合外力为零【解题探究】(1)什么力提供单摆振动的向心力？向心力有什么特点？提示：摆球的重力沿绳方向的分量与绳拉力的合力提供向心力。由公式 Fnm2vl知，向心力的大小与线速度的大小有关，越靠近平衡位置，线速度越大，向心力越大。(2)什么力提供单摆的回复力？在平衡位置处回复力与合力相同吗？提示：摆球重力的切向分力提供单摆运动的回复力，其大小随摆球位置的变化而变化。在平衡位置，回复力为零，但由于
8、摆球有向心加速度，故摆球所受合外力不为零。【解析】选 C。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为 m2vl，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零。故选项 C 正确。对于单摆的两点说明(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。(2)在单摆振动图像中，图像最高点或最低点对应单摆摆球的最大位移处，图像与时间轴的交点对应摆球的平衡位置。角度 2 单
9、摆的运动特征及规律1运动特点(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度 v0，半径方向都受向心力。(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。2单摆做简谐运动的推证由图可知：(当 很小时，一般小于 5)G1mg sin mg tan mgmg xlF 回mg xl，令 k mgl，所以 F 回kx可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。【典例 2】关于单摆，下面说法正确的是()A摆球运动过程中，经过同一点的位移有可能不同B摆球运动过程中，经过同一点的速度是不变的C摆球运动过程中，加速度方向始终指向平衡位置D
10、摆球经过平衡位置时，加速度不为零【解题探究】(1)对于包括单摆在内的简谐运动的位移是如何规定的？提示：简谐运动的位移特指振动物体相对于其平衡位置的位移，位置一定，位移一定。(2)单摆摆球的速度有何特点？提示：单摆摆球的速度与位置有关，但不是一一对应关系，即在不同点可以有大小相同的速度，在同一点，摆球的速度可以相同，也可以不同。(3)单摆摆球的加速度与什么有关？有何特点？提示：单摆摆球的加速度分为向心加速度和切向加速度。向心加速度由单摆所受向心力提供，方向指向圆心，大小随摆球速度的变化而变化；切向加速度由重力的分量提供，大小随摆球位置的变化而变化，方向指向摆球运动轨迹的切线，并不指向平衡位置。【
11、解析】选 D。摆球的位移特指其相对平衡位置的位移，只与摆球的位置有关，故 A 错误；摆球运动过程中，一个周期内会两次以相反的方向经过同一点，故速度不一定相等，故 B 错误；单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，故其加速度不是始终指向平衡位置，故 C 错误；摆球经过平衡位置时，切向加速度为零，向心加速度不为零，故 D 正确。单摆运动中力与能量的特点(1)当单摆的摆角较小时，单摆的运动可以看成简谐运动，回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，向心力则由摆线拉力和重力的径向分力的合力提供。(2)单摆摆球的加速度分切向加速度和向心加速度两种，决定因素不同，特点也不一样。(3)单摆摆球在运动过程
12、中，动能和势能相互转化，但其机械能不变。1关于单摆，下列说法正确的是()A单摆的摆长即为悬点到摆球最下端的长度B振动过程中，单摆在平衡位置所受摆线的拉力最小C振动过程中，摆球所受的合外力就是回复力D振动过程中，摆球的机械能守恒【解析】选 D。单摆的摆长等于摆线悬点到摆球球心的距离，故 A 错误；设某时刻摆线和竖直方向的夹角为，如图所示，则对摆球，有 FTmg cos m2vl，则摆球所受摆线的拉力 FTmg cos m2vl，又由题意知，在最低点，0，cos 1，值最大，由 单摆的特点知，此时单摆速度也最大，故此时摆球所受摆线的拉力也最大，故 B错误；振动过程中，摆球的回复力仅为其所受合外力沿
13、摆线方向的分量，故 C 错误；振动过程中，只有摆球的重力做功，故其机械能守恒，故 D 正确。2对于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是()A在位移为正的区间，速度和加速度都一定为负B当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量也逐渐增大C摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，摆线所受拉力最大D摆球在最大位移处时，速度为零，处于平衡状态【解析】选 C。在位移为正的区间，回复力 Fkx 为负，加速度为负，但速度可正可负，选项 A 错误；当位移增大时，回复力增大，振动的能量不变，选项 B错误；平衡位置为摆球最低位置，摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，由 FTmg2mvl知，在平衡位置摆线所受拉
14、力最大，选项 C 正确；摆球在最大位移处，速度为零，但加速度不为零，并不处于平衡状态，选项 D 错误。知识点二 对单摆周期的理解与应用角度 1 单摆周期的实验探究1定性探究：影响单摆周期的因素(1)单摆振动的周期和振幅无关单摆的等时性如图所示：把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释放，使其做简谐运动。现象：摆球完成一次全振动所用时间相同。(2)单摆的周期与摆球质量无关摆长相同，将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放，使其做简谐运动。现象：两摆球振动是同步的。(3)单摆振动的周期和摆长有关摆长不同，将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐运动。现象：两摆球振动不同步，而且摆
15、长越长，振动就越慢。结论：单摆的振动周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，与摆长有关，摆长越长，周期越大。2定量探究：单摆周期与摆长的关系(1)实验要点(2)注意事项要保证单摆在同一竖直平面内摆动。摆动偏角尽量不要大于 5。悬线上端不要随摆球摆动，一定要使之固定。测量线长时要将其挂好后再测量。开始计时的位置选在摆球经过平衡位置时。测量周期时，一般测单摆振动 3050 次全振动的时间，再求周期。处理数据时，一般作出 L-T2 的关系图像，找出周期与摆长的关系。如图所示，若两摆球完全相同，摆线长也相等，分别将两摆球从最低点拉起两个摆角不相等的小角度释放，并同时开始计时，结果“奇迹”出现了，两
16、摆球竟同时到达最低点。这种“奇迹”说明了什么？提示：这种“奇迹”说明了两摆球均做简谐运动，其周期相等且与振幅无关。【典例 1】某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是_(填字母代号)。A保证摆动过程中摆长不变B可使周期测量得更加准确C需要改变摆长时便于调节D保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度 l0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为_ mm，单摆摆长为_ m
17、。【审题误区】1误以为摆线长的测量该是在摆线不挂任何物体时测量。2误以为摆线长就是摆长。3误以为摆长就是摆线长加摆球的直径【解析】(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，选项 A、C 正确。(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为 12.0 mm，单摆摆长为 ld2 0.999 0 m0.006 0 m0.993 0 m。答案：(1)A、C(2)12.0 0.993 0 【母题追问】在上述例题情境中下列振动图像真实地描述了对摆长约为 1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程。图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D 均为 30 次全振动的图像，
18、已知 sin 50.087，sin 150.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是_(填字母代号)。【解析】选 A。单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于 5，B 选项中操作不是从平衡位置开始计时的，C 选项中操作振幅太大，不满足摆角小于5的条件，故 B、C 错误；测量周期时应该测量 30 次至 50 次全振动的时间，然后除以全振动的次数减小实验误差，而 D 选项中操作显然不符合这一要求，故合乎实验要求且误差最小的只有 A。在“探究影响单摆周期的因素”的实验中的三点注意(1)摆线上端一定要固定好，不可在运动中松动。(2)摆线长一定要在摆线挂上摆球且自然垂顺时测量。(3)测量周
19、期时要从摆球通过平衡位置时开始计时，且第一次读零，这样计算周期时不容易算错。角度 2 对单摆周期的理解与应用1摆长 l 的理解(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度：一般即 llD2，l为摆线长，D 为摆球直径。(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为 lsin，这就是等效摆长。其周期 T2lsing。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。2重力加速度 g 的理解(1)公式中的 g 由单摆所在地的空间位置决定由GMR2g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也
20、不相同，因此应求出单摆所在处的等效值 g代入公式，即 g 不一定等于 9.8 m/s2。(2)等效重力加速度若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图 1 斜面摆，球静止在 O 点时，FTmg sin，等效加速度 gFTm g sin。此场景中的等效重力加速度 gg sin；又如图 2 复合场，带正电小球静止于图示位置时，摆线拉力 FT（mg）2（Eq）2，等效加速度 gFTm （mg）2（Eq）2m。若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)。如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为 a，此时
21、摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值 gga。如图所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球由距 O 点很近的 A 点由静止放开，同时另一同样的小球自轨道上 O 点左侧距 O 点为OA 一半的B 点由静止放开，结果惊奇地发现两小球同时到达 O 点。(OA R)这是为什么呢？提示：由题意知，两小球均做周期相同的单摆运动，且二者到达 O 点的时间均为周期的四分之一，故二者同时释放，同时到达最低点 O。【典例 2】如图所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球 M在距O点很近的A点由静止释放，同时在 O 点正上方另有一小球
22、N(图中未画出)自由落下，若运动中阻 力不计。求：小球应从多高处自由落下时，两球在 O点第一次相碰(OA R)。【审题关键】序号解题依据信息提取单摆的条件小球 M 的运动看成单摆自由落体运动的条件小球 N 做自由落体运动由题目条件得出小球 M 的运动时间为周期的四分之一【解析】小球由 A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为OA R，所以小球自 A 点释放后做简谐运动，要使两球在 O 点第一次相碰，两者到 O 点的运动时间相等。小球从 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为 tT4 2Rg，由于从 O 点正上方自由落下的小球到 O 点的时间也为T4 时两球才能在
23、 O 点相碰，所以所求高度 h12 gt22R8。答案：2R8 1(母题追问)在上述例题中，若去掉“第一次”，其余条件不变，即问题变为：为使两球在 O 点相碰，小球应从多高处自由落下？(OA R)。【解析】小球由 A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为OA R，所以小球自 A 点释放后做简谐运动，要使两球在 O 点相碰，两者到 O 点的运动时间相等。小球从 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为 TT4(2n1)(n1，2，3，)，由于从 O 点正上方自由落下的小球到 O 点的时间也为T4(2n1)时两球才能在 O 点相碰，所以 h12 gt212 g2R4g
24、(2n1)22R8(2n1)2(n1，2，3)答案：2R8(2n1)2(n1，2，3)2在探究影响单摆周期的因素的实验中，(1)同学甲有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)。把单摆从平衡位置拉开约 5释放；_。在摆球经过最低点时启动停表计时；_。把停表记录摆球一次全振动的时间作为周期；_。(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据如表所示。数据组摆长(mm)摆球质量(g)周期(s)1999.332.222999.316.523799.232.21.84799.216.51.85501.132.21.4根据表中数据可以初步判断单摆周期随_的增大而增大。【解析】(1)单摆做简谐运动要
25、求摆角小，单摆从平衡位置拉开约 5释放；因为最低点位置固定，小球经过最低点时，产生的时间误差较小。所以在最低点启动停表计时；摆球一次全振动的时间太短、误差大，应采用累积法测多个周期的时间求平均值；所以是；是；否；(2)从题表中数据可知：摆长相同时，周期相同，摆长变大时，周期变大，根据表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大。答案：(1)是 是 否(2)摆长 3.如图所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为 R，且 Rl 弧 AB。甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从 A 点由静止释放，问两球第一次到达 C 点的时间之比是多少？【解析】甲球做自由落体运动，R12 gt21，所以 t12Rg
26、。对乙球，由于l 弧 ACR，所以 乙(甲、乙都小于 5)，在同一地点由静止开始同时释放，则()A甲先到达平衡位置B乙先到达平衡位置C甲、乙同时到达平衡位置D无法判断【解析】选 C。由单摆的周期公式 T2lg，可知周期 T 与 l、g 有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。5已知在单摆 a 完成 10 次全振动的时间内，单摆 b 完成 6 次全振动，两摆长之差为 1.6 m。则两单摆摆长 la 与 lb 分别为()Ala2.5 m，lb0.9 m Bla0.9 m，lb2.5 mCla2.4 m，lb4.0 m Dla4.0 m，lb
27、2.4 m【解析】选 B。设单摆 a 完成 10 次全振动所经历的时间为 t，则 Ta t10，Tbt6得到 TaTb35；又因为 Ta2alg；Tb2blg 21.6almg，可解得：la0.9 m，lb2.5 m。故选 B。6.一个单摆的摆长为 l，在其悬点 O 的正下方 0.19 l 处有一钉子 P(如图所示)，现将摆球向左拉开到 A，使摆线偏角 5，放手后使其摆动，摆动到 B 的过程中摆角也小于 5，求出单摆的振动周期。【解析】释放后摆球到达右边最高点 B 处，由机械能守恒可知 B 和 A 等高，则摆球始终做简谐运动。单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。摆球在左边的周期为 T12lg摆球在右边的周期为 T220.81lg 则整个单摆的周期为TT12 T22 lg 0.81lg1.9lg答案：1.9lg
