1、楚雄州20182019学年下学期高二期中统测数学（理科）第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A和集合B，利用集合间的交集运算可得答案.【详解】解：故选A.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复
2、数的定义。若， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。3.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题，分析茎叶图，找出质量在499,501的个数，再求其概率即可.【详解】这个数据中位于个数为，故所求概率为故选B【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.4.记等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 36B. 72C. 55D. 110【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和性质得，再根
3、据等差数列性质求.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以.选C.【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5.执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的j=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i1，j1,j=2i-j=1,满足i4，第二次运行i2，j=2i-j3；满足i4，第三次运行i3，j=2i-j3；满足i4，第四次运行i4，j=2i-j5；不满足i4，程序运行终止，输出j5故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框
4、图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法6.定积分（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.【详解】解：由题意得：,故选D.【点睛】本题主要考查定积分的计算，相对简单，需牢记定积分中求原函数的公式.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先
5、由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.8.下列证明中更适合用反证法的是（ ）A. 证明B. 证明是无理数C. 证明D. 已知，证明【答案】B【解析】【分析】对选项进行分析，选项A可用数学归纳法或者裂项相消法证明，选项B适合于反证法，选项C可用二倍角余弦公式证明，选项D可先计算的值，代入计算可得证明，综合可得答案.【详解】解：选项A，可得，适合直接证明；选项B并不适合直接证明，适合反证法；选项C，可得，适合直接证明；选项D，可得，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明；所以选项B的证明更适合用反证法，故选B.【点睛】本题主要考查直接证明和反证法的相关知识，及数列，三角函
6、数的相关知识，需知道反证法适用的场所.9.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间50，100内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为（ ）A. 81.5B. 82C. 81.25D. 82.5【答案】C【解析】【分析】由中位数两边数据的频率和均为0.5，列出方程计算可得答案.【详解】解：因为，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在80，90）之间。设中位数为x，因为，所以所求中位数为.【点睛】本题主要考查中位数的定义与性质，其中中位数两侧的数据的频率和相等，为0.5.10.若点在函数的图象上，则的零点为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案
7、】D【解析】【分析】将点代入函数，利用对数的运算性质即可求出k值，进而求出的零点。【详解】解：根据题意，点在函数的图象上，则，变形可得：，则若，则，即的零点为，故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质、零点知识。熟练掌握对数的运算性质是解题的关键。11.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如.若，则（ ）A. 20B. 21C. 29D. 30【答案】A【解析】【分析】先求出248在第几行，再找出它在这一行中的第几列，可得m+n的值.【详解】解：由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，248在从2开始的偶数
8、中排在第128位,可得，可得前15行共有个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以.【点睛】本题主要考查归纳推理和等差数列的性质意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是通过解不等式找到248所在的行.12.定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，可得，可得在上单调递减，利用函数的单调性进行判断可得答案.【详解】解：由，得设，则，故在上单调递减，则，即，即,故选D.【点睛】本题主要考查导函数在函数单调性中应用，由已知设是解题的关键.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答
9、案填在答题卡中的横线上.13.已知向量的夹角为，且，则_.【答案】3【解析】【分析】运用向量的数量积的定义可得，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.【详解】解：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.14.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是_【答案】【解析】【分析】先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.【详解】依题意可得，所以最小正周期是.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15.若x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】20【解析
10、】【分析】先由约束条件作出对应的可行域，再将目标函数化为，根据直线截距的最值确定目标函数的最值即可.【详解】画出约束条件表示的可行域（如图阴影部分所示），目标函数可变形为，作出直线，当平移直线经过点时，取最大值，即.故答案为20【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常先由约束条件作出可行域，再将目标函数转化为直线斜截式的形式，即可求解，属于基础题型.16.中国古代数学的瑰宝-九章算术中涉及到一种非常独特的几何体-鳖臑，它是指四面皆为直角三角形的四面体，现有四面体为一个鳖臑，已知平面，,，若该鳖臑的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_.【答案】.【解析】分析：根据鳖擩的定义得球为以AB,
11、BC,CD为长宽高的长方体对角线的中点，再根据求得表面积公式求结果.详解：因为球为以AB,BC,CD为长宽高的长方体对角线的中点，所以球半径为，所以球的表面积为.点睛：若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设复数.（1）若z为纯虚数，求；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）由z为纯虚数，可得实部为0，虚部不为0，可得z的值，可得的值；（2）由实部大于0且虚部小
12、于0，列出不等式组可得答案.【详解】解：（1）若z为纯虚数，则 ,所以，故 ,所以 ；（2）若2在复平面内对应的点在第四象限，则 ,解得 .【点睛】本题主要考查复数的几何意义及复数的有关概念，比较基础.18.在数列中，且成等比数列。（1）求；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质列方程，然后求得的值.（2）利用（1）的结论，判断数列是等比数列，由此求得数列的前项和.【详解】（1），成等比数列，.，同理得，.（2），则数列是首项为4，公比为4的等比数列，故.【点睛】本小题主要考查等比中项性质，考查利用等比数列的定义判断数列为等比数列.属于基础
13、题.19.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1），.（2）设的内角的对边分别为.，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.20.如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1) 平面，可得，由勾股定理可得，可得平面，可得证明；（2）以D为坐标原点，建立空间直
14、角坐标系，可得各点坐标及平面的法向量，平面ABE的一个法向量，可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在正四棱柱中，底面，又,平面，则,，则, 平面.又平面，平面平面 .（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,则.设是平面的法向量，即 ,令y=/2，得 ,由（1）知，平面ABE的一个法向量为 , ,故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为 .【点睛】本题主要考查面面垂直的证明及空间二面角的求法，解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，借助向量的的有关运算解决二面角的问题.21.已知圆，直线过点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于两点，当的
15、面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）分直线l斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线的方程；（2）设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d，可得的长，由的面积最大，可得，可得k的值，可得直线的方程.【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与圆M相切，所以符合题意 ,当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则直线l的方程为，即 ,因为直线l与圆M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即,解得，即直线l的方程为；综上，直线l的方程为或,（2）因为直线l与圆M交于P.Q两点，所以直线l的斜率存在，
16、可设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d ,则 ,从而的面积为当时，的面积最大 ,因为，所以，解得或,故直线l的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.22.已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可得在点处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.
