1、云南省大理州祥云县2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，则集合 （ ） A. B. C. D.2.已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值是 （ ） A. B. C. D.3.在 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的周长为 （ ） A.20 B.30 C.40 D.254.记 为等差数列 的前 项和 ，若 ，则 （ ） A.9 B.11 C.13 D.155.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ） A.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的
2、横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变B.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ） A.1958 B.1960 C.1988 D.19907.已知 为实数，则下列不是 的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D.8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年
3、，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得 米， 米， 米， ， ，据此可以估计天坛的最下面一层的直径 大约为（结果精确到1米）（参考数据： ） （ ） A.39米 B.43米 C.49米 D.53米9.各项均为正数的等比数列 中， ，则 （ ） A.256 B.512 C.1024 D.204810.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上.若 ，则点 到 轴的距离为 （ ） A. B.3 C. D.11.平面向量 与 共线，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D.12.过点 的直线与抛物线 相交于 两点，若 ，则点 到抛物线 的焦点的距
4、离为 （ ） A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ，则 _ 14.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_ 15.已知数列 的首项为 ，前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和 _ 16.过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于点 .若以 的右焦点 为圆心、半径为3的圆经过 两点（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为_ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在 中，内角 所对的边 满足 ， . （1）求 ； （2）若 ，求 的面积. 18.已知圆 经过点 . （1）求圆 的方程；
5、 （2）设点 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 .若 ，求点 的坐标. 19.数列 的前 项和为 ，且 . （1）求 和 ； （2）求数列 的前 项和 . 20.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中 在纵轴上对应的高度分别为 ，0.02，0.0375，0.0175， ， 如图3所示. （1）求实数 的值以及参加课外活动时间在 中的人数； （2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间； （3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选
6、中的概率. 21.如图所示，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， 平面 ， ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 22.已知椭圆 与直线 交于 两点，过原点 与线段 中点 的直线的斜率为 . （1）求椭圆 的离心率； （2）若椭圆 的短轴长为 ，点 为长轴的右顶点，求 的面积. 答案解析部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，则集合 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】集合 ， 集合 ，故答案为：B. 【分析】化简集合B，再根据交集的定
7、义，即可得出答案。2.已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值是 （ ） A.B. C.D.【答案】 D 【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【解析】【解答】由题意可知，3和4是方程 的两根，且 ， ，解得 ， 故答案为：D. 【分析】 由题意可知，3和4是方程的两根，再结合韦达定理即可得解.3.在 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的周长为 （ ） A.20B.30C.40D.25【答案】 A 【考点】余弦定理 【解析】【解答】根据余弦定理，得 ，所以 ，则 的周长为20， 故答案为：A. 【分析】 由已知结合余弦定理即可直接求解.4.记 为等差数列 的前 项和 ，若 ，则 （
8、 ） A.9B.11C.13D.15【答案】 C 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【解答】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 ，得 ，解得 ， ， 故答案为：C. 【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出 ,由此能求出a7.5.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ） A.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变B.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D.先向右平移
9、 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变【答案】 D 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】函数 ，所以将函数 的图象向右平移 个单位， 得到 的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 的图象.故答案为：D. 【分析】 直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ） A.1958B.1960C.1988D.1990【答案】 A 【考点】循环结构 【解析】【解答】 的初始值为0， 的初始值为2020， ， ， ； ， ， ； ， ； ， ， ； ， ，
10、 成立，故输出的 的值为1958.故答案为：A. 【分析】根据程序框图代入k值逐一验证，可得答案。7.已知 为实数，则下列不是 的一个必要不充分条件的是（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】对数函数的单调性与特殊点，不等式的基本性质 【解析】【解答】 .易知 都是 的一个必要不充分条件.对于 同，由 不一定能得到 ，且由 不一定得到 ，故 是 的一个既不充分也不必要条件. 故答案为：B. 【分析】根据对数函数的单调性以及充分条件、必要条件的定义可得答案。8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明
11、清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得 米， 米， 米， ， ，据此可以估计天坛的最下面一层的直径 大约为（结果精确到1米）（参考数据： ） （ ） A.39米B.43米C.49米D.53米【答案】 D 【考点】余弦定理 【解析】【解答】在 中， ，所以 ，在 中， ，所以 （米）. 故答案为：D. 【分析】 求出AC，在CDA中，利用余弦定理即可求得AD.9.各项均为正数的等比数列 中， ，则 （ ） A.256B.512C.1024D.2048【答案】 B 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】设等比数列 的公比为
12、，显然 ，则由 ，可得 ，即 ，解得 （舍去）， . 故答案为：B. 【分析】 设等比数列 的公比为 ，显然 ， 根据 ， 求出公比，再根据通项公式即可求出答案.10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上.若 ，则点 到 轴的距离为 （ ） A.B.3C.D.【答案】 C 【考点】圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】由题意椭圆 的半焦距 ，又 ，点 在以 为半径，以原点为圆心的圆上，即 ，与椭圆 联立，可得 ，点 到 轴的距离为 ， 故答案为：C. 【分析】 先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立
13、求得交点的坐标，则根据点P所在的象限确定其横坐标.11.平面向量 与 共线，则 的最小值为 （ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】平面向量 与 共线， ， ， ，当且仅当 ， 时取等号，故答案为：C. 【分析】 先由向量共线求出a+2b=4,再根据基本不等式即可求出.12.过点 的直线与抛物线 相交于 两点，若 ，则点 到抛物线 的焦点的距离为 （ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】如图所示， 设 ，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程 ，则抛物线的焦点坐标 ， ， ，则 ，且 ， ，即 ， ，则 ，解得 ， ，故
14、答案为：C. 【分析】 画出图形，设 ， 求出抛物线的焦点坐标，通过 ， 推出且 ， 几何抛物线方程,求出A的横坐标，然后求解点A到抛物线C的焦点的距离.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ，则 _ 【答案】 1 【考点】函数的值 【解析】【解答】函数 ， ， . 【分析】由已知得 ， 从而 ， 由此能求出结果。14.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_ 【答案】 2 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】约束条件的可行域如图2阴影部分，直线 ，经过可行域 时，在 轴上的截距取得最小值，此时 取得最大值. ，解得 ，所以 的最大值为2.
15、 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可.15.已知数列 的首项为 ，前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和 _ 【答案】【考点】数列递推式 【解析】【解答】 ， ，化为 ， ，数列 是等比数列，首项为4，公比为2， ， . 【分析】由 ，可得 ，化为 ， 利用等比数列的通项公式即可得出。16.过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于点 .若以 的右焦点 为圆心、半径为3的圆经过 两点（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为_ 【答案】 2 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为双曲线的渐近线方程 ，所以 或 ，因此 ，即 ，整理可得 ，因为 ，
16、解得 ，所以双曲线的离心率为 . 【分析】 求出A的坐标，利用已知条件列出方程，求出a,然后求解双曲线的离心率即可.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在 中，内角 所对的边 满足 ， . （1）求 ； （2）若 ，求 的面积. 【答案】 （1）因为 利用正弦定理 所以 ，所以 ，故 ，由于 ，所以 .利用余弦定理 ；（2）由（1）得：当 时， ， ，所以 .【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】 （1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果； （2）利用三角函数的关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果. 18.已知圆 经过点 . （1）求圆 的方
17、程； （2）设点 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 .若 ，求点 的坐标. 【答案】 （1）设圆 的方程为 ， 则 解得 圆 的方程为 ；（2）如图3，设点 ， 由（1）知，圆心 ，半径 ，由已知 ， ，在 中，有 ，则 ，解得 或 ，即有点 的坐标为 或 .【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系 【解析】【分析】 (1)设圆C的方程为 ,把点的坐标代入圆的方程，可得关于D、E、F的方程组，求得D、E、F的值，可得圆的方程； (2)设点P(2y+1,y),由图可知|PC|=2|CE|，再由两点间的距离公式列式求得y值，则点P的坐标可求.19.数列 的前 项和为 ，且 . （
18、1）求 和 ； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】 （1）当 时， ，解得 ； 当 时，由 ，可得 ，两式相减得： ，即 ，又当 时， 也适合上式， ， .（2）由（1）可得： ， .【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】 (1)先由题设求得a1,再利用an=Sn-Sn-1求得an的表达式，并检验a1是否适合,从而求得an,再求得即可; (2)先由(1)求得 ,再利用裂项相消法求得其前n项和.20.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中 在纵轴上对应的高度分别为 ，0.02，0.0375，0.0175， ， 如图3所示. （1）
19、求实数 的值以及参加课外活动时间在 中的人数； （2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间； （3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率. 【答案】 （1）因为所有小矩形面积之和等于1， 所以 ，解得 ，由于参加课外活动时间在 内的频率等于 ，因此参加课外活动时间在 中的人数为 人.（2）依题意，参加课外活动时间在 ， ， ， ， 中的人数分别为5人，8人，15人，7人，5人，因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为： （分钟）.（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为 ，甲，
20、 从中任选3人，可能的情况有： ，共10种，设“其中的男生甲被选中”为事件 ，则事件 包括的情况有： ，共6种，因此事件 发生的概率为 .【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】 (1)直接利用频率分布直方图的应用求出结果; (2)利用平均值的算式的应用求出结果; (3)利用古典概型公式的应用求出结果. 21.如图所示，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， 平面 ， ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， 易知 ，又 ，故 ，四边形 为平行四边形， .又 平面 ， 平面 ， 平面
21、；（2）解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，则可取 ，设平面 的法向量为 ，则 ，则可取 ， ，易知二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】 (1)取AE中点F，连接FN,BF，证明四边形BCNF为平行四边形，即可证得NC/BF,进而得证； (2) 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可.22.已知椭圆 与直线 交于 两点，过原点 与线段 中点 的直线的斜率为 .
22、 （1）求椭圆 的离心率； （2）若椭圆 的短轴长为 ，点 为长轴的右顶点，求 的面积. 【答案】 （1）设 ，则椭圆 的方程为 ， 联立 ，消去 可得 ，设 ，则 ，所以 ，所以 的中点 的坐标为 ，由题意可得 ，所以 ，即 ，所以椭圆的离心率为 ；（2）因为椭圆的短轴长为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，点 到直线 的距离为 ，所以三角形 的面积为 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)联立椭圆C与直线 的方程，求出点E的坐标，根据OE的斜率求出 的值，进而可以求出椭圆的离心率; (2 )根据(1)中的结论结合短轴长求出m,n的值，进而可以求出的长与点A到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求解.
